复数计算器
数学计算器复数四则运算 · 模/辐角/共轭
答案速览
复数加减乘除：(3+4i)×(1−2i) = 11−2i；除法乘共轭，模 |z|=√(a²+b²)，辐角用 atan2(b,a)。
z₁ = a + bi
+i
z₂ = c + di
+i
z₁ × z₂ =
11 − 2i
|z| = 11.180 · arg(z) = -10.3°
模 |z|11.180
辐角-10.3°
共轭11 + 2i
极形式11.18∠-10.3°
计算过程
- 1z₁ = 3 + 4i，z₂ = 1 − 2i
- 2(3×1 − 4×-2) + (3×-2 + 4×1)i = 11 − 2i（i² = −1）
- 3|z| = √(re² + im²) = 11.180；arg(z) = atan2(im, re) = -10.30°
复平面图示
z₁（蓝）、z₂（绿）、结果 z（橙）。|z| 是到原点的距离，arg(z) 是与实轴的夹角。
运算规则对照
| 运算 | 规则 | 几何意义 |
|---|---|---|
| 加法 | (a+c) + (b+d)i | 向量平移相加 |
| 减法 | (a−c) + (b−d)i | 向量相减 |
| 乘法 | (ac−bd) + (ad+bc)i | 模相乘、辐角相加 |
| 除法 | (z₁·z̄₂)/|z₂|² | 模相除、辐角相减 |
乘以 i 相当于把点逆时针旋转 90°——所以 i×i = −1（转两次 90° = 180°）。共轭相乘 z·z̄ = |z|² 必为非负实数，这就是除法能"实数化分母"的原理。
💡 i² = −1。乘法：把 i 当变量展开，再把 i² 换成 −1。除法：分子分母同乘共轭 (c − di)，分母变成实数 |z₂|²。极形式 re^(iθ) 让乘方极简：zⁿ = rⁿ∠nθ（棣莫弗定理）。
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怎么用
- 分别输入两个复数 z₁ = a+bi 与 z₂ = c+di 的实部、虚部。
- 选择运算：加、减、乘、除，结果实时给出代数式。
- 查看模与辐角：自动附带 |z|、arg(z)（度）与共轭。
- 常见用途：电路相量、信号处理、二次方程虚根的化简。
核心要点
- 乘法展开别漏项：(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i，虚部是交叉两项之和。
- 除法用共轭：分子分母同乘 c−di，分母变成实数 c²+d²。
- i² = −1 是唯一规则：所有化简最终归到 a+bi 标准形。
- 辐角用 atan2：能区分四个象限，直接 arctan(b/a) 会丢象限信息。
原理与公式
复数四则运算（z₁ = a+bi，z₂ = c+di）
加减：(a±c) + (b±d)i
乘法：(ac − bd) + (ad + bc)i
除法：z₁/z₂ = z₁·z̄₂ ÷ |z₂|²（乘以共轭）
模：|z| = √(a²+b²)；辐角：arg(z) = atan2(b, a)
示例：(3+4i)×(1−2i) = 11−2i，|3+4i| = 5（3-4-5 直角三角形）。
常见问题
为什么除法要乘共轭？
乘共轭后分母变为 |z₂|² = c²+d²（实数），虚部消掉，才能写成标准 a+bi 形式。
模和辐角是什么几何意义？
把复数看成平面上的向量：模是长度，辐角是与正实轴的夹角——极坐标写法 r∠θ。
x² = −4 的根是什么？
x = ±2i。判别式为负的一元二次方程，根是共轭复数对，可用本工具验证乘积。
复数能比大小吗？
不能。复数无全序关系，只能比较模的大小。
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来源与更新
运算规则遵循复数代数的标准定义；辐角采用 atan2 实现，覆盖四个象限。
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