核心答案：向量点积 a·b=x₁x₂+y₁y₂，结果为零说明两向量垂直；矩阵乘法是「左行 × 右列」逐元素乘加，不可交换（AB 一般不等于 BA）；复数 (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，除法用分母共轭有理化。
三种对象一张速查表
| 对象 | 写法 | 核心运算 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 向量 | (x, y) 或 (x, y, z) | 点积、叉积、模长 | 点积是数，叉积（3D）是向量 |
| 矩阵 | m×n 数表 | 加减（同型）、乘法（行列配） | 乘法无交换律 |
| 复数 | a+bi | 四则、模、共轭 | i²=−1，不是 √1 |
向量：点积与投影
点积 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ。两个用途：判夹角（>0 锐角、=0 垂直、<0 钝角）、算投影。
投影：b 在 a 方向上的投影长度 = a·b ÷ |a|。力的分解、光照衰减都靠它。
模长：|a| = √(x²+y²)，3D 同理加 z²。
矩阵：乘法与行列式
乘法规则：A(m×k) × B(k×n) = C(m×n)——内维 k 必须相同。C 的第 i 行第 j 列 = A 的第 i 行与 B 的第 j 列逐元素乘加。
2×2 行列式：det = ad − bc。det≠0 矩阵可逆，逆矩阵 = (1/det)×[[d,−b],[−c,a]]；det=0 说明矩阵把平面「压扁」成线，无逆。
| 运算 | 结果维度 | 示例 |
|---|---|---|
| 2×2 行列式 | 数 | [[1,2],[3,4]] → 1×4−2×3 = −2 |
| 2×2 × 2×2 | 2×2 | 逐行乘列 |
| 2×2 × 2×1 向量 | 2×1 | 旋转/缩放坐标 |
复数：四则与模
- 加减：实部虚部分别相加减
- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i（i²=−1 代入）
- 除法：分子分母同乘分母的共轭 (c−di)，分母变 |c+di|²=c²+d²
- 模：|a+bi| = √(a²+b²)——复平面上的距离
实例：斜面上的重力分解
斜面倾角 30°，物体重力 G=(0, −98)N（竖直向下）。沿斜面方向单位向量 u=(cos30°, −sin30°)=(0.866, −0.5)。
沿斜面分力 = G·u = 0×0.866 + (−98)×(−0.5) = 49N——这就是让物体下滑的力；垂直斜面分力压紧斜面约 84.9N。斜面越陡（θ 越大），下滑分力 G·sinθ 越大。
实例：交流电路的阻抗合成
电阻 R=30Ω 与电抗 X=40Ω 串联，复阻抗 Z = 30 + 40i（Ω）。
总阻抗模 |Z| = √(30²+40²) = 50Ω；220V 电压下电流 I = 220÷50 = 4.4A。若两支路并联，用复数除法：Z总 = Z₁Z₂÷(Z₁+Z₂)，每一步都是乘共轭有理化。
常见误区
- 「矩阵乘法可以交换」：AB≠BA 是常态。几何上 A=旋转、B=缩放时，先转后缩与先缩后转结果不同。
- 「点积结果是向量」：点积是标量（一个数）；要垂直于两向量的新向量用叉积（仅 3D）。
- 「i 是 −1 的平方根所以可以写成 √−1」：写法没错，但 √a·√b=√(ab) 的法则对负数失效——√−1·√−1 ≠ √1，这正是 i²=−1 的定义点。
- 「行列式为零只是不能求逆」：还意味着方程组 Ax=b 无解或无穷多解——矩阵把空间降维了。