核心答案：幂运算六大法则——同底相乘指数加（aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ）、相除指数减、幂的幂指数乘、积的幂各自乘、负指数取倒数（a⁻ⁿ=1/aⁿ）、零指数等于 1（a⁰=1）。分数指数 a^(1/n)=ⁿ√a。
幂的定义
aⁿ 表示 n 个 a 相乘：2⁵=2×2×2×2×2=32。a 叫底数，n 叫指数。
| 幂 | 值 | 幂 | 值 |
|---|---|---|---|
| 2¹⁰ | 1024 | 10³ | 1000 |
| 2²⁰ | 1048576 | 10⁶ | 100 万 |
| 2³⁰ | ≈10.7 亿 | 10⁹ | 10 亿 |
| 3⁵ | 243 | 5⁴ | 625 |
六大运算法则
| 法则 | 公式 | 例子 |
|---|---|---|
| 同底相乘 | aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ | 2³×2⁴=2⁷=128 |
| 同底相除 | aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ | 2⁵÷2²=2³=8 |
| 幂的乘方 | (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ | (2³)²=2⁶=64 |
| 积的乘方 | (ab)ⁿ=aⁿbⁿ | (2×3)²=4×9=36 |
| 商的乘方 | (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ | (2/3)²=4/9 |
| 负指数 | a⁻ⁿ=1/aⁿ | 2⁻³=1/8=0.125 |
负指数与零指数
- a⁰=1（a≠0）：任何非零数的 0 次方都是 1
- a⁻ⁿ=1/aⁿ：负指数=正指数的倒数
- 0⁰ 无定义（数学约定争议，极限场景视为 1 或不存在）
- 0 的负指数无意义（1/0 不存在）
分数指数
- a^(1/2)=√a：8^(1/2)=√8=2√2
- a^(1/3)=∛a：27^(1/3)=3
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)：8^(2/3)=∛(8²)=∛64=4
科学计数法
a×10ⁿ（1≤a<10）：
| 数值 | 科学计数 | 场景 |
|---|---|---|
| 300000000 m/s | 3×10⁸ | 光速 |
| 0.000000001 m | 1×10⁻⁹ | 纳米 |
| 602200000000000000000000 | 6.022×10²³ | 阿伏伽德罗常数 |
常见误区
- aᵐ·aⁿ=aᵐⁿ：错！相乘指数相加：2³×2⁴=2⁷=128，不是 2¹²。
- (a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ：错！(2+3)²=25 ≠ 4+9=13。二项式展开有交叉项。
- −2²=4：错！−2²=−(2²)=−4，而 (−2)²=4——负号不在幂内。
- 0⁰=0：约定为 1 或无定义，绝不是 0。
用[指数计算器](/c/math/exponent)计算任意底数和指数的幂（支持负数、小数）。