向量计算器
数学计算器加减/点积/叉积 · 模长夹角
答案速览
a=(1,2,3)、b=(4,5,6)：点积 32，叉积 (−3,6,−3)，|a|≈3.742、|b|≈8.775，夹角约 12.9°。
a + b(5.000, 7.000, 9.000)
a − b(-3.000, -3.000, -3.000)
a · b32.0000
|a|3.7417
|b|8.7750
夹角 θ12.93°
a × b（叉积）
(-3.000, 6.000, -3.000)
模长 7.3485 = 平行四边形面积
a 在 b 上的标量投影3.6467
a 在 b 上的投影向量(1.662, 2.078, 2.494)
计算过程
- 1|a| = √（1.000² + 2.000² + 3.000²）= 3.7417；|b| = 8.7750
- 2a·b = （1.000×4.000） + （2.000×5.000） + （3.000×6.000） = 32.0000
- 3cosθ = a·b/(|a||b|) = 32.0000/（3.7417×8.7750）→ θ = 12.93°
- 4a×b =（a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁）= (-3.000, 6.000, -3.000)
特殊向量速查
| 向量 | 取值 | 性质 |
|---|---|---|
| i, j, k | (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) | 标准基单位向量 |
| 0 | (0,0,0) | 与任何向量点积、叉积均为 0 |
| a ⊥ b | a·b = 0 | 垂直判定条件 |
| a ∥ b | a×b = 0 | 平行判定（三维） |
| a 的单位向量 | a/|a| | 只保留方向，模长为 1 |
叉积的模长等于 a、b 张成的平行四边形面积——已知三点坐标求三角形面积的快捷方法：S = |a×b|/2。
a·b = 0 ⇔ 两向量垂直；a×b = 0 ⇔ 两向量平行。叉积仅存在于三维（及七维），方向遵循右手定则。
公式说明
点积：a·b = Σaᵢbᵢ = |a||b|cosθ。模长：|a| = √(Σaᵢ²)。叉积（三维）：a×b =（a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁），|a×b| = |a||b|sinθ。投影向量：(a·b/|b|²)b。
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怎么用
- 输入向量 a：依次填入 x、y、z 三个分量，如 (1, 2, 3)。
- 输入向量 b：同样填入三个分量，如 (4, 5, 6)。
- 读取全部结果：加减结果、点积、叉积、两向量模长与夹角一次给出。
- 看夹角判关系：夹角 0° 同向、90° 垂直（点积为 0）、180° 反向。
核心要点
- 点积是标量：a·b = |a||b|cosθ，可用来快速算投影长度与夹角。
- 叉积是向量：方向垂直于原平面（右手定则），模长 = 平行四边形面积。
- 垂直判据：两非零向量点积为 0 ⟺ 互相垂直，几何题常用。
- 叉积反交换：a×b = −(b×a)，顺序颠倒方向相反，模长不变。
原理与公式
三维向量运算
加减：a ± b = (a₁±b₁, a₂±b₂, a₃±b₃)
点积：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ（结果为标量）
叉积：a×b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)，方向垂直于两向量所在平面
模长：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
夹角：θ = arccos(a·b / (|a||b|))
示例：a=(1,2,3)、b=(4,5,6)：点积 = 4+10+18 = 32；|a|=√14≈3.742，|b|=√77≈8.775，夹角 θ = arccos(32/32.83) ≈ 12.9°。
常见问题
点积和叉积有什么区别？
点积结果是标量（数字），反映两向量同向程度；叉积结果是向量，垂直于两向量所在平面。点积算角度、投影，叉积算面积、法向量、力矩。
夹角为什么是 0 到 180 度之间？
向量夹角定义为两向量的较小夹角，取值 [0°, 180°]。arccos 的值域正好是 [0, π]，与定义一致。
零向量怎么算夹角？
零向量没有方向，与任何向量的夹角无定义。工具在模长为 0 时不输出夹角，避免除以零。
二维向量能用吗？
可以，把 z 分量填 0 即可。二维叉积退化为标量（结果的 z 分量），即平行四边形的有向面积。
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相关指南
来源与更新
向量运算定义遵循线性代数标准教材（同济《线性代数》第七版）。
最近更新：
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引用本页：一键算. 向量计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/vector
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