核心答案：√x 是"平方等于 x 的非负数"。√144=12，√2≈1.414，√3≈1.732。估算 √n：找相邻完全平方数夹逼——√50 在 49=7² 和 64=8² 之间，约 7.07。
常用平方根速查
| √n | 近似值 | 场景 |
|---|---|---|
| √2 | 1.41421 | 正方形对角线 |
| √3 | 1.73205 | 等边三角形高 |
| √5 | 2.23607 | 黄金比例相关 |
| √10 | 3.16228 | 半数量级分界 |
| √100 | 10 | 基准 |
| √10000 | 100 | 百分之一万 |
记忆口诀：√2"意思意思"（1.414）、√3"一起三儿"（1.732）。
估算技巧
求 √80：9²=81 最接近，80=81−1。修正公式 √(a²−d)≈a−d/(2a)：√80≈9−1/18≈8.944（精确 8.9443，误差 0.0003）。
两位数平方根口算（n 为完全平方数）：√3364：个位 4 → 原数个位 2 或 8；33 在 5²=25 和 6²=36 之间 → 十位 5；检验 55²=3025<3364 → 取 8 → 58。验证 58²=3364 ✓。
牛顿迭代手算法
x_{n+1}=(x_n + n/x_n)÷2，从任意正数出发快速收敛。求 √10 从 3 出发：
- x₁=(3+10/3)/2=3.1667
- x₂=(3.1667+10/3.1667)/2=3.1623 ✓（精确 3.16228）
化简根式
√72=√(36×2)=6√2；√200=10√2。规则：把最大的完全平方因子提出来。
| 根式 | 化简 |
|---|---|
| √8 | 2√2 |
| √18 | 3√2 |
| √50 | 5√2 |
| √75 | 5√3 |
常见误区
- √(a+b)=√a+√b：√(9+16)=√25=5 ≠ 3+4=7。
- √x²=x：错！√x²=|x|，√((−3)²)=3。
- 负数开平方：实数范围内无定义，需要引入虚数 i（√(−1)=i）。
- √2 是分数：√2 是无理数，毕达哥拉斯学派为此淹死了发现者希帕索斯（传说）。
常用平方根速查表
| x | √x | x | √x |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.414 | 50 | 7.071 |
| 3 | 1.732 | 100 | 10 |
| 5 | 2.236 | 200 | 14.142 |
| 6 | 2.449 | 500 | 22.361 |
| 7 | 2.646 | 1000 | 31.623 |
| 8 | 2.828 | 5000 | 70.711 |
| 10 | 3.162 | 10000 | 100 |
速记：√2≈1.414、√3≈1.732、√5≈2.236 是工程估算三宝；√10≈3.162 恰好是「数量级减半」的换算桥（√1000=10√10）。
估算实例：不用计算器逼近 √x
例 1（√50）：夹逼 7²=49 < 50 < 64=8² → 7.x；50−49=1，间隔 8²−7²=15 → 1/15≈0.07 → √50≈7.07（精确 7.0711）。
例 2（√150）：12²=144、13²=169 → 12.x；150−144=6，间隔 25 → 6/25≈0.24 → √150≈12.24（精确 12.247）。
例 3（大数 √20000）：拆成 √2×√10000 = 1.414×100 = 141.4。
用[平方根计算器](/c/math/square-root)精确求解，[勾股定理计算器](/c/math/pythagorean)算直角三角形斜边。