核心答案：一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解为 x = [−b ± √(b²−4ac)] ÷ 2a。先看判别式 Δ = b²−4ac：Δ>0 两个不同解、Δ=0 一个重根、Δ<0 无实数解。一元一次直接移项：3x+6=0 → x=−2。
一元一次方程
步骤：移项（变号）→ 合并同类项 → 系数化为 1。
实例：5x − 3 = 2x + 9
- 移项：5x − 2x = 9 + 3
- 合并：3x = 12
- 求解：x = 4
检验：代回原方程，5×4−3 = 17 = 2×4+9 ✓。养成检验习惯可杜绝移项变号错误。
一元二次求根公式
x² 系数为 a、x 系数为 b、常数为 c：
x = [−b ± √(b²−4ac)] ÷ 2a
实例：x² − 5x + 6 = 0（a=1, b=−5, c=6）
- Δ = 25 − 24 = 1
- x = (5 ± 1) ÷ 2 → x₁ = 3, x₂ = 2
判别式判断根
| Δ = b²−4ac | 根的情况 | 例子 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 两个不等实根 | x²−5x+6=0 → 3 和 2 |
| Δ = 0 | 一个重根 | x²−4x+4=0 → x=2 |
| Δ < 0 | 无实数根 | x²+x+1=0 → Δ=−3 |
先算 Δ 再决定用什么方法，Δ<0 时不必再套公式。
因式分解法
能十字相乘的方程，因式分解比公式更快：
实例：x² − 5x + 6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 或 3。
技巧：找两数使「乘积 = c、和 = −b」。x²+7x+12：乘积 12、和 −7？3×4=12、3+4=7 → (x+3)(x+4)=0 → x=−3 或 −4。
二元一次方程组
代入消元：从一式解出 y，代入另一式。
{x + y = 10; x − y = 4}：由一式 x = 10−y 代入二式：10−y−y=4 → y=3，x=7。
加减消元：系数相反时直接相加消元。
{3x+2y=16; 5x−2y=8}：两式相加 8x=24 → x=3，代回得 y=3.5。
常见误区
- 移项不变号：3x+5=11 → 3x=11+5 是错的，移过去必须变号 3x=11−5
- 求根公式丢 2a：分母是整个 2a，不是只除 b 那项；建议先算 Δ 再分步代入
- Δ<0 继续算：判别式为负时无实数解，初中阶段直接答「无实数根」即可
- 漏解：x²=9 的解是 x=±3，开平方必须取正负两个值