二元一次方程组
数学计算器克拉默法则 · 解的判定
答案速览
2x+3y=12、x−y=1：D=−5，x=(−15)/(−5)=3，y=(−10)/(−5)=2——代回验证 6+6=12、3−2=1。
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怎么用
- 整理成标准式：把方程组写成 a₁x + b₁y = c₁ 和 a₂x + b₂y = c₂ 的形式。
- 填入六个系数：常数项移到等号右边再填。
- 读取解：x、y 的精确值，附带行列式 D 供检查。
- D=0 看提示：工具会区分"无解"与"无穷多解"两种情况。
核心要点
- 克拉默法则：x = Dx/D、y = Dy/D，D 是系数行列式，适合手算与编程。
- D≠0 唯一解：两直线相交；D=0 时两线平行（无解）或重合（无穷解）。
- 检验习惯：把解代回原方程验算，防止移项时符号出错。
- 增广矩阵视角：解的三种情况对应秩的关系——秩相等且等于未知数个数才有唯一解。
原理与公式
二元一次方程组（克拉默法则）
方程组：a₁x + b₁y = c₁；a₂x + b₂y = c₂
主行列式：D = a₁b₂ − a₂b₁
Dx = c₁b₂ − c₂b₁；Dy = a₁c₂ − a₂c₁
D ≠ 0：唯一解 x = Dx/D，y = Dy/D
D = 0 且 Dx = Dy = 0：无穷多解；否则无解
示例：2x+3y=12、x−y=1：D = 2×(−1)−1×3 = −5；Dx = 12×(−1)−1×3 = −15 → x=3；Dy = 2×1−1×12 = −10 → y=2。
常见问题
D = 0 时怎么区分无解和无穷多解？
看 Dx 和 Dy：若 Dx = Dy = 0（两方程成倍数关系）则无穷多解；否则无解。工具会自动判断并提示。
系数可以填小数或负数吗？
可以，支持任意实数。建议先整理成标准式，把含 x、y 的项放左边、常数放右边。
三元方程组能解吗？
本工具专注二元。三元以上建议用矩阵计算器或高斯消元，克拉默法则计算量随阶数指数增长。
和图像法、代入法比哪个好？
克拉默法则直接套公式、步骤固定，最适合程序化；代入消元在系数含 1 时更快；图像法只用于理解几何意义。
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相关指南
来源与更新
克拉默法则表述遵循同济《线性代数》第七版；解的判定与系数矩阵秩理论一致。
最近更新：
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引用本页：一键算. 二元一次方程组[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/linear-system
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