核心答案：绝对值 |x| 表示 x 到 0 的距离，永远非负：|5| = 5，|−5| = 5。方程 |x−3| = 2 表示「到 3 的距离为 2」，解为 x = 1 或 x = 5。负数取绝对值要变号，这是全部规则的源头。
绝对值的定义
|x| = { x（当 x ≥ 0）；−x（当 x < 0） }
几何意义：数轴上 |x| 是点 x 到原点的距离；|a−b| 是点 a 到点 b 的距离。
实例：|−7| = 7；|0| = 0；|3.14 − π| = π − 3.14（因为 π > 3.14，差为负，取绝对值变号）。
运算法则
| 法则 | 例子 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a×b | = | a | × | b | (−2)×3 | = 6 = 2×3 | |
| a÷b | = | a | ÷ | b | （b≠0） | −8÷2 | = 4 |
| a+b | ≤ | a | + | b | （三角不等式） | 3+(−5) | = 2 ≤ 8 |
| a | ² = a² | (−4)² = | −4 | ² = 16 |
注意：|a+b| ≠ |a|+|b| 当 a、b 异号时不成立（|3−5|=2 而非 8）。
绝对值方程
基本型 |x−a| = b（b>0）：x = a + b 或 a − b，两个解。
实例：|2x − 6| = 8
- 情况一：2x − 6 = 8 → x = 7
- 情况二：2x − 6 = −8 → x = −1
- 解集：x = 7 或 x = −1
特例：|x| = 0 → x = 0（一解）；|x| = −3 → 无解（绝对值非负）。
绝对值不等式
| 形式 | 解法 | 例子 | ||
|---|---|---|---|---|
| x | < a（a>0） | −a < x < a | x | < 3 → (−3, 3) |
| x | > a（a>0） | x > a 或 x < −a | x | > 2 → x>2 或 x<−2 |
| x−1 | ≤ 4 | −4 ≤ x−1 ≤ 4 → −3 ≤ x ≤ 5 | 中间夹 | |
| x−1 | ≥ 4 | x−1 ≥ 4 或 x−1 ≤ −4 → x ≥ 5 或 x ≤ −3 | 两边分 |
口诀：「小于夹中间，大于分两边」。
实际应用
- 误差表示：测量值 100 ± 2 即 |x−100| ≤ 2，范围 98-102
- 温差计算：两地气温 −5℃ 和 8℃，温差 = |8−(−5)| = 13℃
- 编程：Math.abs() 用于距离、偏差、排序场景
- 股价涨跌幅：|现价−昨收| ÷ 昨收
常见误区
- |−a| = −|a|：错。|−a| = |a|，绝对值结果不可能是负数
- √(a²) = a：仅当 a≥0 成立。a<0 时 √(a²) = |a| = −a，如 √((−3)²) = 3 不是 −3
- 方程 |x|=5 只写 x=5：漏掉 x=−5。绝对值方程通常两解，必须分类讨论
- 去绝对值号不看符号：|π−3.14| 直接写 π−3.14？此处碰巧为正成立，但若写成 3.14−π 就错了，先看里式正负