核心答案：解 ax²+bx+c=0（a≠0）分两步——① 算判别式 Δ=b²−4ac；② 套公式 x=(−b±√Δ)÷2a。Δ>0 两个实根，Δ=0 一个重根，Δ<0 一对共轭复根。例：2x²−7x+3=0，Δ=49−24=25，x=(7±5)/4，得 x₁=3、x₂=0.5。
求根公式与判别式
对一般形式 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）：
Δ = b² − 4ac，x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
判别式在开方之前就先告诉你方程有几个实根，是解题的第一站。
判别式三种情况对照
| 判别式 | 根的情况 | 图像与 x 轴交点 | 例子 |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 两个不相等实根 | 2 个 | x²−3x+2=0 → 1, 2 |
| Δ = 0 | 两个相等实根（重根） | 1 个（相切） | x²−4x+4=0 → x=2 |
| Δ < 0 | 无实根，共轭复根 | 0 个 | x²+2x+5=0 → −1±2i |
配方法推导
求根公式不是天上掉下来的，来自配方：
- 两边除以 a：x² + (b/a)x + c/a = 0
- 移项：x² + (b/a)x = −c/a
- 两边加 (b/2a)²：(x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a²
- 开方移项即得 x = (−b ± √Δ)/2a
配方法同样用于把 y=ax²+bx+c 写成顶点式 y=a(x−h)²+k，顶点 (−b/2a, c−b²/4a)。
实例一：两个不等实根
解 2x² − 7x + 3 = 0：
- a=2, b=−7, c=3
- Δ = (−7)² − 4×2×3 = 49 − 24 = 25 > 0
- x = (7 ± 5) ÷ 4
- x₁ = 12/4 = 3，x₂ = 2/4 = 0.5
验证：2×9 − 21 + 3 = 0 ✓。本题也可十字相乘分解为 (2x−1)(x−3)=0，更快。
实例二：重根与复根
重根：x² − 4x + 4 = 0，Δ = 16 − 16 = 0，x = 4/2 = 2（重根），即 (x−2)²=0。
复根：x² + 2x + 5 = 0，Δ = 4 − 20 = −16 < 0，实数范围无解；复数范围 x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i。中学阶段写「无实数解」即可。
韦达定理验根
不解方程也知道两根关系：
| 关系 | 公式 | 上例验证（x₁=3, x₂=0.5） |
|---|---|---|
| 两根之和 | x₁+x₂ = −b/a | 3.5 = 7/2 ✓ |
| 两根之积 | x₁·x₂ = c/a | 1.5 = 3/2 ✓ |
反向应用：已知一根求另一根、构造以某两数为根的方程、求 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂ 这类对称式。
常见误区
- 「公式里 b 的符号照抄错」：方程 2x²−7x+3=0 中 b=−7，公式分子是 −b=+7。先把 a、b、c 带符号摘出来再代入。
- 「Δ<0 就是算错了」：不是，它只是说明抛物线与 x 轴没有交点，复数范围内仍有一对共轭复根。
- 「a=0 也套公式」：a=0 时是一次方程，公式分母为 0，直接用移项求解。
- 「只写 x= 忘记 ±」：Δ>0 时必有两个根，漏掉一个即丢分。
用[一元二次方程计算器](/c/math/quadratic)直接出根、判别式和顶点，[函数图像](/c/math/quadratic)同步看抛物线。