核心答案：素数（质数）是大于 1 且只能被 1 和自身整除的自然数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47…… 判断 n 是否素数：只需试除到 √n 即可。100 以内共 25 个素数。

素数的定义

  • 素数：因子只有 1 和自己（如 7=1×7）
  • 合数：有其他因子（如 9=3×3）
  • 1 既不是素数也不是合数（定义如此，保证算术基本定理唯一性）
  • 2 是唯一的偶素数

快速判断法（试除到 √n）

判断 97 是否素数：√97≈9.8，只需试除 2、3、5、7：

  • 97 是奇数 ✓
  • 9+7=16 不被 3 整除 ✓
  • 个位不是 0/5 ✓
  • 97÷7=13 余 6 ✓

→ 97 是素数

为什么试到 √n 就够：若 n=a×b 且 a≤b，则 a≤√n。有小因子必 ≤√n，试到 √n 没找到就是素数。判断 1009：√1009≈31.8，只需试 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 共 11 个。

100 以内素数表（25 个）

区间素数
1-202, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
21-4023, 29, 31, 37
41-6041, 43, 47, 53, 59
61-8061, 67, 71, 73, 79
81-10083, 89, 97

素数的性质与应用

  1. 算术基本定理：任何大于 1 的整数可唯一分解为素数乘积。360=2³×3²×5。
  2. RSA 加密：两个大素数相乘容易、分解极难——这是现代互联网加密的基石。
  3. 素数无穷多（欧几里得证明）：假设有限，全部相乘加 1 产生新素因子，矛盾。
  4. 蝉的生命周期：周期蝉用 13、17 年（素数）出土，让天敌难以同步周期。

常见误区

  1. 1 是素数：不是！1 只有 1 个因子，素数要求恰好 2 个不同因子。
  2. 奇数都是素数：9、15、21、25、27……都是奇合数。
  3. 大数判断试除到 n/2：浪费，试到 √n 即可——√1000000=1000，只需试 168 个素数。
  4. 51、57、91 是素数：51=3×17，57=3×19，91=7×13——这三个是最经典的"伪素数脸"。

用[素数判断计算器](/c/math/prime)秒判任意整数并给出完整素因数分解。