核心答案：正 n 边形面积 S = n·a² ÷ [4·tan(π/n)]（a 为边长）。常用速算：正三角形 0.433a²、正方形 a²、正五边形 1.720a²、正六边形 2.598a²、正八边形 4.828a²。边长翻倍面积变为 4 倍。
通用面积公式
把正 n 边形从中心切成 n 个全等三角形，每个三角形的底是边长 a，高是边心距 r：
S = n × (a × r ÷ 2) = 周长 × 边心距 ÷ 2
其中边心距 r = a ÷ [2·tan(π/n)]，合并得：
S = n·a² ÷ [4·tan(π/n)]
常用正多边形系数速查
| 边数 n | 名称 | 面积公式 | 系数（×a²） |
|---|---|---|---|
| 3 | 正三角形 | (√3/4)a² | 0.433 |
| 4 | 正方形 | a² | 1.000 |
| 5 | 正五边形 | ¼√(25+10√5)a² | 1.720 |
| 6 | 正六边形 | (3√3/2)a² | 2.598 |
| 8 | 正八边形 | 2(1+√2)a² | 4.828 |
| 10 | 正十边形 | 7.694 | |
| 12 | 正十二边形 | 3(2+√3)a² | 11.196 |
规律：n 越大形状越接近圆，系数趋近 π×(n/(2π))² 级别的圆面积。
实例一：正六边形地砖
例：边长 20 cm 的正六边形地砖，铺 10 ㎡ 需要多少块？
- 单块面积 = 2.598 × 20² = 2.598 × 400 = 1,039 cm² ≈ 0.104 ㎡
- 块数 = 10 ÷ 0.104 ≈ 96 块，加 8% 损耗 → 采购 104 块
正六边形密铺无空隙（每个内角 120°，三块拼满 360°），这就是蜂巢选它的原因——同样周长下面积最大且无缝。
实例二：正八边形亭子
例：园林正八边形凉亭，边长 2.5 m，算地面面积：
S = 4.828 × 2.5² = 4.828 × 6.25 = 30.2 ㎡
若按外接圆估算（半径 R = a ÷ [2·sin(π/8)] = 2.5 ÷ 0.765 ≈ 3.27 m）会得 πR² ≈ 33.6 ㎡——高估 11%，因为正八边形面积小于外接圆。
边心距与外接圆半径
| 量 | 公式 | 几何意义 |
|---|---|---|
| 边心距 r | a ÷ [2·tan(π/n)] | 中心到边中点（内切圆半径） |
| 外接圆半径 R | a ÷ [2·sin(π/n)] | 中心到顶点 |
| 内角 | (n−2)×180° ÷ n | n=6 时 120° |
边心距已知时求面积最方便：S = 周长 × r ÷ 2。
不规则多边形怎么办
- 分割法：切成三角形/矩形分别算再相加
- 鞋带公式（坐标法）：顶点按序 (x₁,y₁)…(xₙ,yₙ)，S = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|——测绘、CAD 都用它
- 网格估算法：蒙上坐标纸数格子，适合自然边界（湖泊、林地）
常见误区
- 「边数加倍面积加倍」：错。面积与边长平方成正比，与边数的关系体现在系数上；同样周长下，边数越多面积越大（趋近圆）。
- 「用外接圆面积代替多边形」：恒高估。正六边形是外接圆面积的 82.7%，正八边形是 90.1%。
- 「公式里的角度用度」：tan(π/n) 中 π 是弧度制；计算器用度数模式记得切换，否则结果全错。
- 「正多边形只有正三角形到正八边形」：任意 n ≥ 3 都有正多边形，边长已知时代通用公式即可。
用[正多边形面积计算器](/c/geometry/polygon)输入边数与边长直接出面积、边心距、内角，[圆面积计算器](/c/geometry/circle)做包络对照。