正多边形计算器
几何图形边数+边长 → 面积/周长/内角
答案速览
正 n 边形面积 = n·a²÷(4·tan(π/n)) = 周长×边心距÷2；内角 = (n−2)×180°÷n，外角 = 360°÷n；正六边形边长 2 时面积约 10.39。
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怎么用
- 输入边数：n ≥ 3，常用 3–12（三角形到十二边形）。
- 输入边长：任意正数。
- 读全量结果：周长、面积、内角、外角、外接圆与内切圆半径。
- 配合图示：形状随边数实时变化，直观理解"边数越多越接近圆"。
核心要点
- 面积万能式 A = n·a² ÷ (4·tan(π/n))——只需边数与边长。
- 内角和 = (n−2)×180°，每个内角 = 内角和 ÷ n；外角恒为 360°/n。
- 面积也 = 周长 × 边心距 ÷ 2——与圆面积 = 周长 × 半径 ÷ 2 完美对应。
- 极限直觉：n → ∞ 时正多边形趋近圆，公式极限即 π r²。
原理与公式
正 n 边形公式（边长 a）：
周长 P = n·a
面积 A = n·a² ÷ (4·tan(π/n)) = P·r ÷ 2（r 为边心距）
内角 = (n−2)×180° ÷ n；外角 = 360° ÷ n
外接圆半径 R = a ÷ (2·sin(π/n))
内切圆半径 r = a ÷ (2·tan(π/n))
示例：正六边形 a=2 → 面积 = 6×4÷(4×tan30°) ≈ 10.392；内角 120°；R = 2，r ≈ 1.732。蜂房用六边形：在等周长下六边形面积仅次于圆，且能无缝密铺。
常见问题
正多边形面积公式怎么记？
记"周长 × 边心距 ÷ 2"（A = P·r/2）最省力——把多边形切成 n 个以中心为顶点、边为底、边心距为高的三角形，总面积就是 n × (a·r/2) = P·r/2。圆面积 πr² 正是它的极限形式。
为什么蜂房是正六边形？
能无缝密铺平面的正多边形只有三种：正三角形、正方形、正六边形。其中六边形"等周长下面积最大"（最接近圆），用最少蜂蜡围出最大储蜜空间——达尔文称其为"最经济的建筑"。
外角为什么恒为 360°/n？
沿多边形走一圈，每个顶点转过一个外角，回到起点时恰好转完一整圈 360°。所以任意凸多边形外角和恒为 360°，正多边形每外角 = 360°/n。内角 = 180° − 外角。
足球上的五边形有几条边？
经典足球由 12 个正五边形（黑）和 20 个正六边形（白）组成，共 32 块皮——这是"截角二十面体"。每个五边形周围是 5 个六边形，球面曲率正来自五边形。
已知面积怎么反推边长？
由 A = n·a² ÷ (4·tan(π/n)) 解出 a = √(4·A·tan(π/n) ÷ n)。例如要围 100㎡ 的正六边形地块：a = √(4×100×tan30°÷6) ≈ 6.2m，周长约 37.2m。
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来源与更新
公式为标准平面几何结论（三角函数精确计算）；结果保留 4 位小数，适用于教学、工程与装修估算。
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引用本页：一键算. 正多边形计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/geometry/polygon
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