核心答案：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。底 10cm、高 6cm：面积 30cm²。不知道高但知三边时用海伦公式；直角三角形直接「两直角边相乘除 2」；知两边及夹角用 ½ab·sinC。
底高公式
S = a × h ÷ 2
关键：高必须垂直于所选底边。钝角三角形的高可能落在三角形外（延长线上），测量时别找错。
推导：两个全等三角形拼成平行四边形（面积 = 底×高），单个三角形取其半。
海伦公式（知三边）
已知三边 a、b、c，令 s = (a+b+c) ÷ 2（半周长）：
S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
实例：三边 7、8、9：s = 12，S = √(12×5×4×3) = √720 ≈ 26.83。
前提：三边必须能构成三角形——任意两边之和大于第三边（2、3、6 构不成，直接无解）。
直角三角形与勾股定理
- 面积 = 两直角边乘积 ÷ 2（直角边互为底高）
- 勾股定理：a² + b² = c²（c 为斜边）
常用勾股数：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25，及其倍数（6-8-10）。
实例：直角边 6 和 8 → 斜边 √(36+64) = 10，面积 = 6×8÷2 = 24。
斜边上的高：h = ab÷c。6-8-10 三角形斜边高 = 48÷10 = 4.8。
实例演算
例 1（知两边夹角）：两边 5、8，夹角 60°：S = ½×5×8×sin60° = 20×0.866 ≈ 17.32。
例 2（等边三角形）：边长 a 的等边三角形 S = (√3÷4)a²。边长 6：S = 0.433×36 ≈ 15.59。
例 3（反求高）：面积 42、底 12 → h = 2×42÷12 = 7。
常见三角形速查
| 类型 | 面积公式 | 备注 |
|---|---|---|
| 一般三角形 | 底×高÷2 | 万能 |
| 直角三角形 | 两直角边÷2 | 斜边高 h=ab/c |
| 等边三角形 | (√3/4)a² | ≈0.433a² |
| 等腰直角 | 直角边²÷2 | 斜边 = 直角边×√2 |
| 知三边 | 海伦公式 | s 为半周长 |
常见误区
- 高与边长混淆：高是垂直距离不是斜边。钝角三角形的高在外部，作图后测量
- 海伦公式忘开根号：算出 s(s−a)(s−b)(s−c) 的值后必须开平方才是面积
- 勾股定理用错边：只有直角三角形且 c 为斜边时 a²+b²=c² 成立，锐角/钝角三角形不适用
- 「边长翻倍面积翻倍」：相似三角形面积比 = 边长比的平方，边长 ×2 面积 ×4