核心答案：直角三角形中 a²+b²=c²（c 为斜边）。已知两边求第三边：斜边 c=√(a²+b²)，直角边 a=√(c²−b²)。例：直角边 3 和 4，斜边 =√(9+16)=√25=5。
勾股定理公式
设直角三角形两直角边为 a、b，斜边（直角对的边，永远最长）为 c：
a² + b² = c²
三种用法：
- 求斜边：c = √(a² + b²)
- 求直角边：a = √(c² − b²)
- 判直角：三边满足等式即直角（逆定理）
常见勾股数对照表
边长都是整数的直角三角形组合，考试和实测中高频出现，其整数倍同样成立：
| 勾股数 | 2 倍 | 3 倍 |
|---|---|---|
| 3-4-5 | 6-8-10 | 9-12-15 |
| 5-12-13 | 10-24-26 | 15-36-39 |
| 8-15-17 | 16-30-34 | — |
| 7-24-25 | 14-48-50 | — |
| 20-21-29 | — | — |
记住 3-4-5 一族，装修放线、木工找直角都能脱离计算器。
实例一：电视尺寸与对角线
55 英寸电视（对角线 55″），屏幕比例 16:9，求实际宽和高：
- 设宽 16x、高 9x，则 (16x)² + (9x)² = 55²
- 337x² = 3025，x = 3.0
- 宽 = 48″ ≈ 121.8 cm，高 = 27″ ≈ 68.6 cm
买电视柜、电梯搬运前这样一算，比到店比划靠谱。
实例二：梯子要够多长
要爬到 4 米高的屋檐，安全规范要求梯子与地面夹角约 75°（底脚离墙约为高度的 1/4）：
- 底脚离墙 = 4 ÷ 4 = 1 米
- 梯长² = 4² + 1² = 17
- 梯长 = √17 ≈ 4.12 米，再加顶部超出屋檐 1 米，选 5 米梯
逆定理：判断直角
三根木条 6、8、10 米钉成三角形，是直角三角形吗？
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓ 是直角三角形，直角在 6 与 8 之间。
这就是工地「放线找方」的原理：沿墙量 3 米、垂直方向量 4 米，两头对角线恰好 5 米则墙角为 90°。
实际应用场景
| 场景 | 怎么用 |
|---|---|
| 装修找直角 | 3-4-5 放线法验墙角 90° |
| 导航直线距离 | 东西差 a、南北差 b，直线 √(a²+b²) |
| 电视/屏幕尺寸 | 英寸数 = 对角线，配比例算宽高 |
| 梯子/斜坡长度 | 高度与水平距离求斜长 |
| 家具进电梯 | 对角线 ≤ 电梯对角线才能进 |
常见误区
- 「任意三角形都能用」：仅限直角三角形。非直角三角形用余弦定理 c²=a²+b²−2ab·cosC。
- 「斜边随便选」：斜边永远是直角所对的最长边，c 必须放等式右边。
- 「求直角边忘减」：a=√(c²−b²) 是减号，不是加号；结果必须为正才成立。
- 「单位混用」：米和厘米先统一再平方，面积单位跟着平方。
用[勾股定理计算器](/c/geometry/pythagorean)输入任意两边即得第三边，[三角形计算器](/c/geometry/triangle-solver)处理非直角情形。