综合除法计算器
数学计算器综合除法/长除法 · 余数定理 · 有理根求解
答案速览
综合除法计算器——综合除法/长除法 · 余数定理 · 有理根求解。综合除法（秦九韶/霍纳递推）：P(x) ÷ (x−c) 时，b₀ = a₀，bᵢ = aᵢ + c·bᵢ₋₁；结果行最后一项是余数，其余为商式系数。
商式
3x² + 6x + 10
余数 25 · P(2) = 25 · (x − 2) 不是因式
多项式次数3
余数25
P(2)25
因式判定否
综合除法表
| 2 | 3 | 0 | −2 | 5 |
| ×c | 6 | 12 | 20 | |
| + | 3 | 6 | 10 | 25 |
第一行：系数 · 第二行：c×上一结果 · 第三行：求和（末格 = 余数）
计算步骤
- 1被除式 P(x) = 3x³ − 2x + 5，系数从高次到低次：[3, 0, −2, 5]（缺项已补 0）
- 2以 c = 2 做综合除法：先落下首项系数，然后逐项递推 bᵢ = aᵢ + c·bᵢ₋₁
- 3结果行即商式系数，最后一个数是余数：商 = 3x² + 6x + 10，余数 = 25
- 4由余数定理，P(2) = 25，与直接代入求值结果一致
- 5余数不为 0，所以 (x − 2) 不是 P(x) 的因式
核心定理速查
| 定理 | 内容 | 用途 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 余数定理 | P(x)÷(x−c) 的余数 = P(c) | 快速求函数值、验算 | P(2)=25 ⟺ 余数 25 |
| 因式定理 | 余数 = 0 ⟺ (x−c) 是 P(x) 的因式 | 判定整除、找根 | x=1 余 0 → (x−1) 是因式 |
| 有理根定理 | 有理根必为 ±p/q：p 整除常数项，q 整除首项系数 | 把试根范围缩小到有限候选 | 2x³+… 候选 ±1, ±2, ±1/2 |
| 秦九韶算法 | 与综合除法同一递推 bᵢ=aᵢ+c·bᵢ₋₁ | 手算/编程求多项式值最快 | n 次多项式仅需 n 乘 n 加 |
| 降次法 | 每找到一个根，多项式除以 (x−c) 降一次 | 逐步求出全部根 | 三次 → 二次 → 求根公式 |
| 缺项补 0 | 系数序列必须从高次到低次连续排列 | 输入约定 | x³+5 应输入 1 0 0 5 |
系数从高次到低次输入，空格或逗号分隔，缺项必须补 0（如 x³+5 输入 1 0 0 5）。
综合除法仅适用于一次除式 (x−c)；除式次数更高时请切换到长除法模式。
有理根定理只能找到有理根；无理根与共轭复根会在剩余二次因式中通过判别式给出。
秦九韶算法（霍纳法则）与综合除法是同一递推，是手算多项式函数值最快的方法。
这个工具对你有帮助吗？
怎么用
- 输入数值或表达式：在综合除法计算器中直接输入，支持键盘操作与连续运算。
- 实时出结果：输入即算，无需点击任何按钮。
- 看分步过程：结果区附完整计算步骤与公式代入，便于核对与教学演示。
- 复制或重算：结果一键复制；修改任意输入即刻重新计算。
核心要点
- 综合除法（秦九韶/霍纳递推）：P(x) ÷ (x−c) 时，b₀ = a₀，bᵢ = aᵢ + c·bᵢ₋₁；结果行最后一项是余数，其余为商式系数
- 余数定理：P(x) ÷ (x−c) 的余数恒等于 P(c)——综合除法一次完成「除法」与「求值」两件事
- 因式定理：余数为 0 ⟺ (x−c) 是 P(x) 的因式 ⟺ c 是方程 P(x) = 0 的根
- 有理根定理：整系数多项式的有理根必为 ±p/q（p 整除常数项、q 整除首项系数），候选有限可逐一试根
原理与公式
综合除法与多项式求根规则
综合除法（秦九韶/霍纳递推）：P(x) ÷ (x−c) 时，b₀ = a₀，bᵢ = aᵢ + c·bᵢ₋₁；结果行最后一项是余数，其余为商式系数
余数定理：P(x) ÷ (x−c) 的余数恒等于 P(c)——综合除法一次完成「除法」与「求值」两件事
因式定理：余数为 0 ⟺ (x−c) 是 P(x) 的因式 ⟺ c 是方程 P(x) = 0 的根
有理根定理：整系数多项式的有理根必为 ±p/q（p 整除常数项、q 整除首项系数），候选有限可逐一试根
降次法：每找到一个有理根就除以对应一次因式，剩余二次式用判别式判定（Δ>0 两实根 / Δ=0 二重根 / Δ<0 共轭复根）
示例一：(3x³−2x+5)÷(x−2)：系数 3, 0, −2, 5，c=2 → 递推 3 → 6 → 10 → 25，商 3x²+6x+10，余数 25，即 P(2)=25。
示例二：2x³+3x²−3x−2=0：候选 ±1, ±2, ±1/2，试得 x=1 整除后降次为 2x²+5x+2，Δ=25−16=9>0，全部根为 1, −1/2, −2。
常见问题
综合除法计算器怎么用？
打开页面后在输入框中填入参数即可自动计算。综合除法/长除法 · 余数定理 · 有理根求解。修改任意输入结果自动更新。
计算结果准确吗？
是的。本工具使用精确算法，避免常见浮点误差，结果经过有效性校验。
免费使用吗？需要注册吗？
完全免费，打开网页即用，无需注册、登录或下载任何软件。
支持手机使用吗？
支持。页面采用响应式设计，手机、平板、电脑均可正常使用。
和手机自带的计算器有什么区别？
本工具提供更详细的计算过程和公式说明，支持更多参数选项，手机自带工具通常不具备这些。
结果可以复制吗？
可以。点击结果旁的复制按钮即可复制到剪贴板。
相关工具
相关指南
来源与更新
数学领域的标准计算公式。所有计算逻辑经过验证。最近更新：2025-07
最近更新：
本页公式与内容经一键算团队复核，仅供学习参考，实际业务请以官方口径为准。
内容由一键算编辑团队维护并定期复核，更新与审核流程见编辑规范。
引用本页：一键算. 综合除法计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/synthetic-division
本工具提供的结果仅供参考，不构成任何专业建议，请以官方核算为准。