求和计算器
数学计算器Σ 任意表达式逐项累加 · 部分和 · 闭式公式
答案速览
求和计算器——Σ 任意表达式逐项累加 · 部分和 · 闭式公式。数值累加：将 i 从下限到上限逐项代入 f(i) 求值并累加（最多 1 万项）。
语法：i 为求和变量 · 支持 + - * / ^ ( ) ! % · sqrt ln log sin cos abs pi e · 支持 2i 隐式乘法
Σ f(i)，i = 1 → 100
5,050
项数100
首项 f(1)1
末项 f(100)100
项均50.5
逐项与部分和
| i | f(i) | 累计和 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 6 |
| 4 | 4 | 10 |
| 5 | 5 | 15 |
| 6 | 6 | 21 |
| 7 | 7 | 28 |
| 8 | 8 | 36 |
| 9 | 9 | 45 |
| 10 | 10 | 55 |
| 11 | 11 | 66 |
| 12 | 12 | 78 |
| … 中间 85 项已省略 … | ||
| 98 | 98 | 4,851 |
| 99 | 99 | 4,950 |
| 100 | 100 | 5,050 |
计算步骤
- 1求和式：f(i) = i，从 i = 1 加到 100，共 100 项
- 2首项 f(1) = 1，末项 f(100) = 100
- 3逐项代入求值并累加
- 4Σ = 5,050，项均 = 50.5
常见求和闭式公式
| 求和式 | 闭式公式 | 备注 |
|---|---|---|
| Σ i (1..n) | n(n+1)/2 | 前 100 项 = 5050 |
| Σ i² (1..n) | n(n+1)(2n+1)/6 | 前 10 项 = 385 |
| Σ i³ (1..n) | [n(n+1)/2]² | 等于 (Σi)² |
| Σ (2i-1) (1..n) | n² | 前 n 个奇数之和 |
| Σ 1/2^i (0..n) | 2 − 1/2ⁿ | n→∞ 收敛于 2 |
| Σ 1/(i(i+1)) (1..n) | 1 − 1/(n+1) | 裂项相消，收敛于 1 |
| Σ 1/i (1..n) | ≈ ln(n) + γ | 调和级数发散（增长极慢） |
| Σ i! (1..n) | 无闭式 | 只能逐项累加 |
本工具逐项数值累加，对任意表达式都适用，即使它没有闭式公式。三角函数按弧度计算。注意：调和级数 Σ 1/i 发散（约按 ln n 增长），而 Σ 1/2^i 收敛于 2。有限项数值求和不能证明收敛性，只是近似。
这个工具对你有帮助吗？
怎么用
- 输入数值或表达式：在求和计算器中直接输入，支持键盘操作与连续运算。
- 实时出结果：输入即算，无需点击任何按钮。
- 看分步过程：结果区附完整计算步骤与公式代入，便于核对与教学演示。
- 复制或重算：结果一键复制；修改任意输入即刻重新计算。
核心要点
- 数值累加：将 i 从下限到上限逐项代入 f(i) 求值并累加（最多 1 万项）
- 部分和：S_k = f(a) + f(a+1) + … + f(k)，逐项展示
- 隐式乘法自动补全：2i→2*i、)i→)*i、i(→i*(
- 常见闭式：Σi = n(n+1)/2；Σi² = n(n+1)(2n+1)/6；Σi³ = [n(n+1)/2]²；Σ(2i−1) = n²
原理与公式
求和（Σ）计算原理
数值累加：将 i 从下限到上限逐项代入 f(i) 求值并累加（最多 1 万项）
部分和：S_k = f(a) + f(a+1) + … + f(k)，逐项展示
隐式乘法自动补全：2i→2*i、)i→)*i、i(→i*(
常见闭式：Σi = n(n+1)/2；Σi² = n(n+1)(2n+1)/6；Σi³ = [n(n+1)/2]²；Σ(2i−1) = n²
收敛提示：Σ 1/2^i → 2（收敛）；Σ 1/i 调和级数发散（约按 ln n 增长）
示例：Σ i²（i=1..10）= 385；Σ 1/(i(i+1))（i=1..99）≈ 0.99（裂项相消，极限 1）。
常见问题
求和计算器怎么用？
打开页面后在输入框中填入参数即可自动计算。Σ 任意表达式逐项累加 · 部分和 · 闭式公式。修改任意输入结果自动更新。
计算结果准确吗？
是的。本工具使用精确算法，避免常见浮点误差，结果经过有效性校验。
免费使用吗？需要注册吗？
完全免费，打开网页即用，无需注册、登录或下载任何软件。
支持手机使用吗？
支持。页面采用响应式设计，手机、平板、电脑均可正常使用。
和手机自带的计算器有什么区别？
本工具提供更详细的计算过程和公式说明，支持更多参数选项，手机自带工具通常不具备这些。
结果可以复制吗？
可以。点击结果旁的复制按钮即可复制到剪贴板。
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来源与更新
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引用本页：一键算. 求和计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/sigma-sum
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