概率计算器
数学计算器古典概型 · 超几何 · 至少一次
答案速览
不放回抽 3 中 2 红（10 球 3 红）：C(3,2)×C(7,1)/C(10,3)=17.5%；单次 10% 连试 5 次至少中一次 = 40.95%。
100 次内至少中一次的概率
63.3968%
全不中36.6032%
50% 所需次数69
90% 所需次数230
99% 所需次数459
计算过程（对立事件）
- 1P(全不中) = (1−p)^n = (1−0.01)^100
- 2P(至少中一次) = 1 − (1−0.01)^100 = 0.6340
- 3达到目标概率 q 所需次数：n = ln(1−q) ÷ ln(1−p)
常见概率速查
| 场景 | 概率 |
|---|---|
| 抛硬币 3 次全正面 | 12.5% |
| 掷骰子一次出 6 | 16.67% |
| 双骰点数和为 7 | 16.67% |
| 抽卡 1% 概率 10 连至少 1 张 | 9.56% |
| 抽卡 1% 概率 100 连至少 1 张 | 63.4% |
| 双色球一等奖（约） | 1 / 17,721,088 |
💡 赌徒谬误：独立试验没有记忆——连出 10 次正面后下次仍是 50/50。但"至少中一次"随次数快速增长：1% 概率抽 100 次命中约 63.4%，并非 100%。
这个工具对你有帮助吗？
怎么用
- 古典概型：输入有利结果数与全部等可能结果数，得 P = 有利/全部。
- 不放回抽样：输入总体 N、成功数 M、抽取 K、目标命中 X，按超几何分布计算。
- 独立重复试验：输入单次成功概率 p 与试验次数 n，得"至少中一次"= 1−(1−p)ⁿ。
- 结果同时给分数与小数、百分比，便于作业与汇报。
核心要点
- 放回 vs 不放回是分水岭：放回用二项/独立模型，不放回用超几何——抽卡、抽检都是不放回。
- "至少一次"用补事件：直接算要枚举 1~n 次，补事件 1−全不中 一步搞定。
- 组合数顺序：C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)，超几何公式分子是两个组合的乘积。
- 概率可加性的前提：事件互斥才能直接相加，否则要减交集。
原理与公式
概率三模型
古典概型：P = 有利结果数 ÷ 全部等可能结果数
超几何分布（不放回抽样）：P = C(M,X)·C(N−M,K−X) ÷ C(N,K)
至少成功一次（独立重复）：P = 1 − (1−p)ⁿ
示例：10 球中 3 红，抽 3 球恰中 2 红：C(3,2)×C(7,1)÷C(10,3) = 21/120 = 17.5%；单次 10% 连试 5 次至少中一次 = 1−0.9⁵ = 40.95%。
常见问题
抽卡 90 保底算超几何吗？
不算。保底机制改变了独立性，前 89 次可按超几何/独立模型近似，但第 90 次概率被规则强制为 1。
单次 1%，抽 100 次必中吗？
不是。至少中一次 = 1−0.99¹⁰⁰ ≈ 63.4%，仍有 36.6% 全空——"概率会累积"是直觉误区。
超几何与二项分布怎么选？
总体有限且不放回用超几何；放回或总体极大（N→∞）时用二项分布近似。
组合数算出来太大怎么办？
本工具内部用大数安全的递推乘法，30 选 15（约 1.5 亿）也能精确算出。
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相关指南
来源与更新
公式遵循古典概型、超几何分布与伯努利试验的标准定义；组合数经递推实现避免大数溢出。
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引用本页：一键算. 概率计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/probability
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