核心答案：四分位数把排序数据四等分（Q1/中位数/Q3），IQR=Q3−Q1，超出 [Q1−1.5×IQR, Q3+1.5×IQR] 判为异常值；线性回归 ŷ=a+bx 用最小二乘法拟合，r² 衡量解释力；独立事件概率相乘、互斥事件相加；科学记数法写成 a×10ⁿ（1≤|a|<10）。
四分位数与箱线图
排序后：Q1=25% 位置、Q2=中位数、Q3=75% 位置（线性插值法，同 Excel PERCENTILE.INC）。
箱线图五数：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值；异常值单独画点。
栅栏：下界 Q1−1.5×IQR、上界 Q3+1.5×IQR；3×IQR 之外是极端异常值。
线性回归最小二乘
拟合直线 ŷ=a+bx：
- 斜率 b = Σ(x−x̄)(y−ȳ) ÷ Σ(x−x̄)²
- 截距 a = ȳ − b·x̄
- 相关系数 r ∈ [−1,1]，r² 表示「y 的变异被 x 解释的比例」
| r² | 拟合强度 |
|---|---|
| <0.3 | 弱 |
| 0.3-0.7 | 中 |
| >0.7 | 强 |
概率的三条规则
- 取值：[0,1]，0 不可能、1 必然
- 独立事件相乘：两次抛硬币都正面 = 0.5×0.5 = 0.25
- 互斥事件相加：骰子出 1 或 2 = 1/6+1/6 = 1/3
至少一次用反面算：抽卡 10 次至少中一次（单次 5%）= 1−0.95¹⁰ = 40.1%——不是 10×5%=50%。
科学记数法与四舍五入
科学记数法 a×10ⁿ（1≤|a|<10）：光速 299792458 m/s = 3.00×10⁸（3 位有效数字）。
| 规则 | 2.5 → | 3.5 → | 用途 |
|---|---|---|---|
| 四舍五入 | 3 | 4 | 日常通用 |
| 银行家舍入（half-even） | 2 | 4 | 财务/统计消偏 |
| 向下取整 | 2 | 3 | 保守估计 |
银行家舍入把 .5 收到最近偶数，大量数据累加时不会系统性偏大。
实例：工资数据的异常值检测
某公司 9 人月薪（千元）：6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 45。
排序后 Q1=7.5、Q3=11.5、IQR=4 → 上界 11.5+1.5×4=17.5 → 45 被判异常值（那是老板）。看中位数 9 而非平均数 12.9——这就是「平均工资」被少数高薪拉偏的经典演示。
实例：面积与房价的回归预测
5 套房数据：面积 60/80/90/110/130㎡，总价 180/230/260/310/350 万。
最小二乘得 b≈2.43、a≈35：ŷ=35+2.43x，r²≈0.99（强线性）。预测 100㎡ → 278 万。注意 r² 高不代表因果——面积与地段混杂，外推到 200㎡ 别墅就失真。
常见误区
- 「平均数代表典型」：收入类右偏分布看中位数——四分位数工具直接给出五数与箱线图。
- 「r² 高=因果」：冰淇淋销量与溺水率 r² 很高，元凶是「夏天」——相关≠因果。
- 「独立事件能连乘就永远对」：抽签不放回就不独立——第一次 5%，第二次条件概率变了。
- 「0.5 必须入」：银行家舍入收向偶数——2.5→2、3.5→4，财务系统用它消系统偏差。