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协方差计算器

数学计算器

样本/总体协方差 · Pearson r 联动

答案速览

协方差计算器——样本/总体协方差 · Pearson r 联动。样本协方差：cov(x,y) = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / (n−1)（贝塞尔修正，统计软件默认口径）。

共 7 对数据

样本协方差 (n−1)23.5
总体协方差 (n)20.1429
Pearson 相关系数0.9994
数据对数 n7
方向与强度正 · 极强

协方差是怎么算的

  1. 1分别求 x 与 y 的均值。
  2. 2每对数据求偏差乘积 (xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) 并求和。
  3. 3除以 n−1 得样本协方差（23.5）；除以 n 得总体协方差（20.1429）。
  4. 4协方差的正负表示同向/反向变动；量纲随单位变化，衡量强度请用无量纲的 Pearson r。
  • cov(x,y) > 0 表示 x 与 y 同向变动；< 0 反向；≈ 0 无线性联动（但可能存在非线性关系）。
  • 协方差带量纲（如 cm·kg），大小难以直接解读；Pearson r = cov ÷ (sx·sy) 将其归一到 [−1, 1]。
  • 样本协方差除以 n−1（贝塞尔修正，统计软件默认口径）；总体协方差除以 n。样本量小时两者差异明显。
  • Var(x+y) = Var(x) + Var(y) + 2·cov(x,y)——协方差也是投资组合方差计算的桥梁。

这个工具对你有帮助吗？

怎么用

  1. 输入数值或表达式：在协方差计算器中直接输入，支持键盘操作与连续运算。
  2. 实时出结果：输入即算，无需点击任何按钮。
  3. 看分步过程：结果区附完整计算步骤与公式代入，便于核对与教学演示。
  4. 复制或重算：结果一键复制；修改任意输入即刻重新计算。

核心要点

  • 样本协方差：cov(x,y) = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / (n−1)（贝塞尔修正，统计软件默认口径）
  • 总体协方差：除以 n；样本量小时两者差异明显
  • 解读：cov > 0 同向变动（x 大 y 也倾向大）；cov < 0 反向；cov ≈ 0 无线性联动
  • 局限：带量纲（如 cm·kg），大小不可跨问题比较；Pearson r = cov/(sx·sy) 归一到 [−1, 1]

原理与公式

协方差：衡量两个变量联合变动程度与方向

样本协方差：cov(x,y) = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / (n−1)（贝塞尔修正，统计软件默认口径）
总体协方差：除以 n；样本量小时两者差异明显
解读：cov > 0 同向变动（x 大 y 也倾向大）；cov < 0 反向；cov ≈ 0 无线性联动
局限：带量纲（如 cm·kg），大小不可跨问题比较；Pearson r = cov/(sx·sy) 归一到 [−1, 1]
恒等式：Var(x+y) = Var(x) + Var(y) + 2·cov(x,y)；独立时协方差为 0（反之不然）

示例：学习时长 (2,3,4,5,6,7,8 h) 与成绩 (55,60,65,70,76,80,85) 的偏差积之和为 141，样本协方差 = 141/6 ≈ 23.5，Pearson r ≈ 0.9994 —— 近乎完全正线性相关。

常见问题

协方差计算器怎么用？
打开页面后在输入框中填入参数即可自动计算。样本/总体协方差 · Pearson r 联动。修改任意输入结果自动更新。
计算结果准确吗？
是的。本工具使用精确算法，避免常见浮点误差，结果经过有效性校验。
免费使用吗？需要注册吗？
完全免费，打开网页即用，无需注册、登录或下载任何软件。
支持手机使用吗？
支持。页面采用响应式设计，手机、平板、电脑均可正常使用。
和手机自带的计算器有什么区别？
本工具提供更详细的计算过程和公式说明，支持更多参数选项，手机自带工具通常不具备这些。
结果可以复制吗？
可以。点击结果旁的复制按钮即可复制到剪贴板。

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来源与更新

数学领域的标准计算公式。所有计算逻辑经过验证。最近更新：2025-07

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引用本页：一键算. 协方差计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/covariance

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