二项分布计算器
数学计算器P(X=k)/累积概率 · 期望方差 · 近似条件
答案速览
二项分布计算器——P(X=k)/累积概率 · 期望方差 · 近似条件。适用于：试验次数 n 固定、每次独立、成功概率 p 不变、结果只有成功/失败。
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恰好 5 次24.61%
不超过 5 次62.3%
至少 5 次62.3%
小数形式0.246094
少于 5 次37.7%
多于 5 次37.7%
期望 E = np5.000
标准差 √(np(1−p))1.581
二项分布是怎么算的
- 1模型：n = 10 次独立重复试验，每次成功概率 p = 50.0%，X ~ B(10, 0.5)。
- 2单点概率：P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) = C(10,5)·0.5^5·0.50^5。
- 3累积概率：P(X ≤ k) 把 0 到 k 各项求和；P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)。
- 4数字特征：E(X) = np = 5.000，Var(X) = np(1−p) = 2.500。
常见模型速查
| 场景 | 试验数 n | 成功 |
|---|---|---|
| 产品质检 | 100 | 抽到次品 |
| 罚球投篮 | 10 | 罚中 |
| 选择题蒙题 | 20 | 蒙对一题 |
| 疫苗试验 | 200 | 感染 |
- 适用条件：试验次数固定、各次独立、成功概率不变、结果只有成功/失败两种。
- 泊松近似：n ≥ 20、p ≤ 0.05 且 np ≤ 10 时可用 λ = np 近似；正态近似：np ≥ 5 且 n(1−p) ≥ 5。
- 二项分布统计 n 次试验中成功的次数；二项式定理 (a+b)^n 的展开是另一个知识点，注意区分。
- 最可能次数为 ⌊(n+1)p⌋；若 (n+1)p 恰为整数，则 (n+1)p 与 (n+1)p−1 并列最大。
这个工具对你有帮助吗？
怎么用
- 输入数值或表达式：在二项分布计算器中直接输入，支持键盘操作与连续运算。
- 实时出结果：输入即算，无需点击任何按钮。
- 看分步过程：结果区附完整计算步骤与公式代入，便于核对与教学演示。
- 复制或重算：结果一键复制；修改任意输入即刻重新计算。
核心要点
- 适用于：试验次数 n 固定、每次独立、成功概率 p 不变、结果只有成功/失败
- 单点概率：P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)，其中 C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
- 累积概率：P(X ≤ k) = Σ C(n,i)p^i(1−p)^(n−i)（i 从 0 到 k）；P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)
- 数字特征：E(X) = np，Var(X) = np(1−p)，标准差 = √(np(1−p))
原理与公式
二项分布：n 重伯努利试验中成功次数 X 的概率分布，X ~ B(n, p)
适用于：试验次数 n 固定、每次独立、成功概率 p 不变、结果只有成功/失败
单点概率：P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)，其中 C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
累积概率：P(X ≤ k) = Σ C(n,i)p^i(1−p)^(n−i)（i 从 0 到 k）；P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)
数字特征：E(X) = np，Var(X) = np(1−p)，标准差 = √(np(1−p))
最可能次数（众数）= ⌊(n+1)p⌋；若 (n+1)p 为整数则 (n+1)p 与 (n+1)p−1 并列
近似：泊松近似 n≥20、p≤0.05、np≤10 时 λ=np；正态近似 np≥5 且 n(1−p)≥5
示例：抛硬币 10 次恰好 5 次正面 P = C(10,5)(0.5)¹⁰ = 252/1024 ≈ 24.6%；100 件产品次品率 2%，恰有 3 件次品 P = C(100,3)(0.02)³(0.98)⁹⁷ ≈ 18.3%。
常见问题
二项分布计算器怎么用？
打开页面后在输入框中填入参数即可自动计算。P(X=k)/累积概率 · 期望方差 · 近似条件。修改任意输入结果自动更新。
计算结果准确吗？
是的。本工具使用精确算法，避免常见浮点误差，结果经过有效性校验。
免费使用吗？需要注册吗？
完全免费，打开网页即用，无需注册、登录或下载任何软件。
支持手机使用吗？
支持。页面采用响应式设计，手机、平板、电脑均可正常使用。
和手机自带的计算器有什么区别？
本工具提供更详细的计算过程和公式说明，支持更多参数选项，手机自带工具通常不具备这些。
结果可以复制吗？
可以。点击结果旁的复制按钮即可复制到剪贴板。
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来源与更新
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引用本页：一键算. 二项分布计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/binomial-distribution
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