核心答案：重力势能 PE=mgh，物体下落时按 ½mv²=mgh 全部转为动能；单摆周期 T=2π√(L/g)，只由摆长和重力加速度决定，与摆球质量、摆角（小角度）无关；圆周运动向心力 F=mv²/r，速度翻倍需要的力翻 4 倍。
三个公式一张表
| 场景 | 公式 | 关键变量 |
|---|---|---|
| 重力势能 | PE=mgh | 质量、高度、g |
| 单摆周期 | T=2π√(L/g) | 摆长 L（与质量无关） |
| 向心力 | F=mv²/r | 速度平方、半径倒数 |
配套关系：势能下落转动能 → ½mv²=mgh → v=√(2gh)，与自由落体殊途同归。
势能与动能转换
能量链条：高处静止（纯势能）→ 下落（势能转动能）→ 最低点（纯动能）。摩擦与空气阻力会让一部分机械能变热——所以秋千不推会慢慢停，永动机造不出来。
| 高度 | 全部转动能后的速度 |
|---|---|
| 1 m | 4.43 m/s |
| 5 m | 9.9 m/s |
| 10 m | 14 m/s |
| 50 m（过山车） | 31.3 m/s ≈ 113 km/h |
单摆周期的两个反直觉
- 与摆球质量无关：1kg 钢球和 10kg 铁球，同摆长周期一样——伽利略在教堂看吊灯发现的规律
- 小角度才准：公式 T=2π√(L/g) 在摆角 <5° 时精确；摆到 60° 实际周期长约 7%
应用：摆长 1m 的秒摆 T≈2.0 秒（半个周期 1 秒），老式摆钟就是靠它计时。
向心力从哪里来
向心力不是新力，而是指向圆心的合外力：
- 汽车过弯：地面摩擦力提供
- 过山车回环：轨道支持力+重力分量
- 卫星绕地球：万有引力
速度平方在分子上——过弯速度从 40 提到 80km/h，所需向心力翻 4 倍，雨天摩擦力不够就甩尾。
实例：过山车最高点要多快
回环半径 8m，最高点不脱落条件：重力全提供向心力 mg=mv²/r → v=√(gr)=√(9.8×8)=8.85 m/s。再算上 16m 落差（从出发平台到最高点的高度差），平台至少要比最高点高 h=v²/2g=4m——实际设计留 1.5 倍以上余量。
实例：秋千与老式摆钟
秋千绳长 2.5m：T=2π√(2.5/9.8)≈3.17 秒——这就是「推秋千要跟着节奏」的物理：每次推力必须踩在固有周期上（共振），乱推反而减速。家里摆钟走慢了？把摆锤往下调（L 变长、T 变大）就调慢了——方向别搞反。
常见误区
- 「重摆球摆得慢」：质量不出现在单摆公式里——和「重的东西落得快」是同一个错误直觉。
- 「向心力是独立的力」：受力分析里没有「向心力」这一项，它是重力/支持力/摩擦力合成的效果。
- 「速度大就能翻回环」：还要看半径——F=mv²/r 里 r 越小越省速度，大回环需要更高初速。
- 「势能是物体存的」：严格说势能属于「物体+地球」系统，说「物体的势能」是约定俗成的简写。