核心答案：两点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂) 确定的直线，斜率 k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)，距离 d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]；两直线垂直 ⇔ 斜率乘积为 −1；比例 a:b=c:d 成立的充要条件是交叉相乘相等（ad=bc）。
三个公式速查
| 量 | 公式 | 读法 |
|---|---|---|
| 斜率 | k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) | 每前进 1 单位上升 k 单位 |
| 距离 | d=√(Δx²+Δy²) | 勾股定理坐标版 |
| 中点 | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | 分量各自取平均 |
特例：x₁=x₂ 时分母为 0，斜率不存在——直线竖直；y₁=y₂ 时 k=0——直线水平。
斜率与坡度对照表
工程里的「坡度」= 斜率 × 100%（或写成 1:n）：
| 场景 | 斜率 | 坡度表示 | 倾角约 |
|---|---|---|---|
| 无障碍坡道上限 | 0.083 | 8.3%（1:12） | 4.8° |
| 地下车库坡道 | 0.15 | 15% | 8.5° |
| 普通楼梯 | 0.6–0.8 | 60–80% | 31–39° |
| 高速公路最大纵坡 | 0.03–0.06 | 3–6% | 1.7–3.4° |
| 45° 对角线 | 1 | 100% | 45° |
比例的基本性质
- 交叉相乘：a:b = c:d ⇔ ad = bc——验算与解比例的唯一口诀
- 化简：各项同除以最大公约数，12:18 = 2:3
- 连比：a:b = 2:3、b:c = 4:5，则 a:b:c = 8:12:15（把 b 配成最小公倍数 12）
- 按比例分配：总量 × 该项占比。90 元按 2:3:4 分 = 20、30、40 元
实例：无障碍坡道验收
规范要求轮椅坡道坡度不超 1:12。现场量得坡道水平投影 4.8m、升高 0.45m：
k = 0.45÷4.8 = 0.0937 = 9.4% > 8.3%（1:12）——不合格，需加长到至少 0.45×12=5.4m 水平长度。坡面实际长度用距离公式：√(5.4²+0.45²) ≈ 5.42m，材料按此下料。
实例：地图两点距离与比例尺
地图比例尺 1:50000，量得两地图上距离 6.4cm：
实地距离 = 6.4 × 50000 = 320000cm = 3.2km。若给的是两地坐标（网格距），如 (1200, 800) 与 (1800, 1500) 米：d=√(600²+700²)=√850000≈922m——坐标法与比例尺法互补。
常见误区
- 斜率公式分子分母减反：必须同向对应——(y₂−y₁)/(x₂−x₁) 或 (y₁−y₂)/(x₁−x₂) 都对，混减差一个负号。
- 「坡度 10% 等于 10°」：10% 是 tanθ=0.10，θ≈5.7°。百分比与角度小坡度时近似、大坡度严重偏离（100%=45°）。
- 「a:b=c:d 则 a=c」：比例相等是比值相等，2:3=4:6 但 2≠4。
- 距离忘开方：√(Δx²+Δy²) 漏掉根号，得到的是距离的平方——922²=85 万米显然荒谬，量纲自检能发现。