数学统计 · Geometric Sequence · 更新于 2026-10-25
等比数列（Geometric Sequence）是什么：定义、公式与实例
定义
等比数列通项 an=a1·r^(n−1)（r 为公比），前 n 项和 Sn=a1(r^n−1)/(r−1)。它的直觉威力在指数增长：翻 10 次是 2^10=1024 倍而非 20 倍。「72 法则」（资金翻倍年数≈72÷年利率）就是等比增长的工程近似：ln2≈0.693，加复利修正后取 72 便于心算。等比结构同样描述衰减：折旧、药物半衰期、放射性衰变都是 r<1 的等比数列。
公式
an = a1·r^(n−1)；Sn = a1(r^n−1)/(r−1)（r≠1）
数值实例
年化 7% 投资 30 年：1.07^30≈7.6 倍——每年只多 7%，30 年翻近三番；病毒一传三、三传九，10 轮后 3^10≈5.9 万人。
常见误区
以为「r 接近 1 时公式照用」——r=1 时分母为零，级数退化为常数列（Sn=na1）；另一个坑是负公比：1,−2,4,−8…通项照样成立，但「前 n 项和的单调性」不再适用。
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