核心答案：圆环面积 S=π(R²−r²)（R 外径半径、r 内径半径）；弓形面积=对应扇形−等腰三角形；球冠曲面面积 S=2πRh（h 是冠高，不是半径）；圆环面（轮胎形）体积 V=2π²Rr²；椭球体积 V=(4/3)πabc。
五种形体公式速查表
| 形体 | 关键量 | 面积/体积公式 |
|---|---|---|
| 圆环 | 外半径 R、内半径 r | S=π(R²−r²) |
| 弓形 | 半径 R、圆心角 θ | S=½R²(θ−sinθ)，θ 取弧度 |
| 球冠 | 球半径 R、冠高 h | S曲=2πRh；V=πh²(R−h/3) |
| 圆环面 | 环心半径 R、管半径 r | S=4π²Rr；V=2π²Rr² |
| 椭球 | 三半轴 a、b、c | V=(4/3)πabc |
圆环与弓形：平面衍生
圆环就是大圆减小圆。注意题给常是直径——先除 2。环形宽度 w=R−r 参与不了面积公式，必须知道内外半径本身。
弓形是圆被一条弦切下的部分：先算圆心角 θ 对应的扇形（½R²θ），再减去两条半径与弦围成的三角形（½R²sinθ）。半圆是最特殊的弓形：θ=π，S=½πR²。
球冠与圆环面、椭球：立体衍生
球冠的曲面面积有个漂亮性质：2πRh 只取决于「球半径 × 冠高」，与冠的开口大小无关——同高的球冠，在大球小球上面积不同，但在同一球上任何位置切同高的冠面积相同。
圆环面（救生圈/轮胎形）：把半径 r 的圆绕着距离 R 的轴转一圈。体积 = 圆面积 πr² × 圆心走过的路程 2πR = 2π²Rr²——帕普斯定理的直接应用。
椭球：球的三轴分别拉伸为 a、b、c，体积从 (4/3)πr³ 变 (4/3)πabc。橄榄球、行星（赤道略鼓）都按椭球算。
数值对照表
| 圆环（R, r） | 面积 |
|---|---|
| R=5, r=3 | π(25−9)=50.3 |
| R=10, r=6 | π(100−36)=201 |
| R=10, r=9 | π(100−81)=59.7 |
| 球冠（R=10） | 曲面面积 |
|---|---|
| h=2 | 2π×10×2=125.7 |
| h=5 | 314.2 |
| h=10（半球） | 628.3 |
实例：环形步道铺砖用量
圆形花坛半径 3m，外围环形步道宽 1.5m：R=4.5m、r=3m。
S = π(4.5²−3²) = π(20.25−9) = 35.3 ㎡。透水砖 200×100mm，每㎡约 50 块，损耗 8%：35.3×50×1.08 ≈ 1908 块，按整箱采购再加一箱余量。
实例：球冠天窗的玻璃面积
采光顶是直径 6m 球面上的球冠，冠高 1.2m：球半径 R=(开口半径²+h²)÷2h=(3²+1.2²)÷2.4=4.35m。
曲面面积 S=2πRh=2π×4.35×1.2=32.8 ㎡。中空玻璃按 32.8㎡ 下单，加 5% 裁切损耗约 34.5㎡。若误把 h 当 R 算（2π×1.2²=9㎡）会差 3.6 倍——这是最常见的报价事故。
常见误区
- 直径半径混用：圆环题常给内外直径，套公式前必须先除 2——S=π(D²−d²)÷4 才是直径版。
- 弓形圆心角用角度制：公式 ½R²(θ−sinθ) 里 θ 必须是弧度；60° 要先化 π/3。
- 球冠 h 当成开口半径：h 是冠的「高度」（矢高），开口半径 a 与 h 的关系是 a²=2Rh−h²，两个量别互换。
- 椭球当球算：三半轴不同就不能用 (4/3)πr³——地球赤道半径比极半径长约 21km，体积差约 0.34%。