数学统计 · Binomial Theorem · 更新于 2026-10-25
二项式定理（Binomial Theorem）是什么：定义、公式与实例
定义
(a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n−k)·b^k，其中 C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) 是组合数，恰好构成杨辉三角：每数等于肩上两数之和。展开式的每一项代表「n 次独立试验中恰好 k 次出现 b」的组合数——这正是二项分布 P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) 的来源。生活中「连续投 10 次硬币出现 5 次正面」的概率 = C(10,5)/2^10 ≈ 24.6%。
公式
(a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n−k)·b^k
数值实例
(a+b)^4 = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴——系数 1,4,6,4,1 正是杨辉三角第 4 行；连续 4 胎「两男两女」的概率是 6/16=37.5%（6 是中间系数）。
常见误区
把 2^10 算成 2×10=20——指数是「重复相乘」不是「重复相加」；另一常见错误是以为「10 次里 5 正 5 反最可能=概率过半」——单项概率 24.6%，过半的是「至少 5 次正面」这类累计事件。
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