正态分布计算器
数学计算器Z 分数 · 区间概率 · 百分位
答案速览
μ=75、σ=10 的考试，92 分对应 z=1.7、百分位约 95.5%——即超过约 95.5% 的考生。
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怎么用
- 设定分布参数：填入均值 μ 和标准差 σ（σ 必须大于 0）。
- 选择计算模式：P(X<x) 累积概率、P(X>x) 右尾概率、P(a<X<b) 区间概率。
- 输入取值：按模式填入 x 或区间 [a, b]。
- 读取结果：概率、Z 分数与百分位，配合 68-95-99.7 法则直观理解。
核心要点
- Z 分数：z = (x−μ)/σ，把任意正态分布标准化，z=1.96 对应双侧 95%。
- 68-95-99.7 法则：±1σ 覆盖 68.3%、±2σ 覆盖 95.4%、±3σ 覆盖 99.7%。
- 对称性：P(X<μ−a) = P(X>μ+a)，算尾概率时可用对称简化。
- 百分位解读：百分位 90 表示超过 90% 的取值，不等于"得 90 分"。
原理与公式
正态分布与 Z 分数
Z 分数：z = (x − μ) / σ，表示取值距均值几个标准差
P(X<x) = Φ(z)：累积分布函数（标准正态查表/近似）
P(X>x) = 1 − Φ(z)；P(a<X<b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
68-95-99.7 法则：μ±1σ 覆盖 68.3%，±2σ 覆盖 95.4%，±3σ 覆盖 99.7%
示例：考试成绩 μ=75、σ=10，某生 92 分：z = (92−75)/10 = 1.7 → Φ(1.7) ≈ 0.9554，即超过 95.5% 的考生。
常见问题
Φ(z) 是怎么算出来的？
标准正态累积分布没有初等表达式，本工具用 Abramowitz-Stegun 26.2.17 有理逼近，误差小于 7.5×10⁻⁸，足够工程与考试使用。
哪些数据近似正态分布？
身高、测量误差、考试成绩、零件尺寸等受大量独立小因素叠加的量近似正态（中心极限定理）。收入、房价是偏态分布，不适用。
z 分数为负是什么意思？
表示取值低于均值。z = −1.5 即低于均值 1.5 个标准差，对应百分位约 6.7%。
P(X=x) 为什么恒等于 0？
连续分布在单点的概率为 0，只能计算区间概率。这正是本工具提供三种区间模式的原因。
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来源与更新
累积分布采用 Abramowitz & Stegun《Handbook of Mathematical Functions》26.2.17 逼近公式，|误差| < 7.5e-8。
最近更新：
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引用本页：一键算. 正态分布计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/normal-distribution
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