置信区间计算器
数学计算器均值±误差幅度 · 90/95/99%
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抽检 100 件、x̄=500g、σ=15g：95% 置信区间 = 500±2.94 = [497.06, 502.94] 克——真均值有 95% 的把握在此范围。
95% 置信区间
[95.100, 104.900]
100 ± 4.900（误差幅度）
标准误 SE2.5000
Z 值1.96
误差幅度 ±4.9000
误差减半需 n144
计算过程
- 1标准误 SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5000
- 295% → Z = 1.96
- 3误差幅度 = Z × SE = 1.96 × 2.5000 = 4.9000
- 4CI = 100 ± 4.9000 = [95.100, 104.900]
- 5误差减半需 n = (Z·σ/E)² = 144（4 倍而非 2 倍！）
区间相对均值的位置
区间外
95% CI
区间外
均值 100 居中；区间宽 ±4.900
样本量与误差对照（同 σ、同置信水平）
| n | 误差 ± | 相对当前 |
|---|---|---|
| 25 | 5.880 | 窄 1.2 倍 |
| 50 | 4.158 | 宽 1.2 倍 |
| 100 | 2.940 | 宽 1.7 倍 |
| 400 | 1.470 | 宽 3.3 倍 |
| 1000 | 0.930 | 宽 5.3 倍 |
| 2500 | 0.588 | 宽 8.3 倍 |
误差随 √n 缩小而非 n：样本翻 4 倍误差才减半。这就是全国性民调止步于 n≈1000 的原因——再往上精度收益递减，成本却线性增长。
常用 Z 值表
80%1.282
90%1.645
95% ←1.96
98%2.326
99%2.576
99.9%3.291
💡 正确解读："用此法构造的区间 95% 会包含真实均值"——而非"均值有 95% 概率在此"。三个反直觉事实：误差减半需 4 倍样本；n 超 120 后收益骤减；比例估计在 p=0.5 时方差最大，故 n=1000 的民调 95% 置信下最大误差 ±3.1%。
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怎么用
- 输入样本均值 x̄：对总体均值的点估计。
- 输入标准差：总体 σ 已知用 σ；未知时用样本标准差 s（n 大时差异可忽略）。
- 输入样本量 n：n≥30 时正态近似较好。
- 选置信水平：90%、95% 或 99%，读取区间上下限与误差幅度。
核心要点
- 置信区间含义：95% CI 表示"用同样方法重复抽样，95% 的区间会覆盖真值"，不是"真值有 95% 概率落在本区间"。
- 三要素：区间宽度由置信水平 z*、离散程度 σ、样本量 √n 共同决定。
- 缩窄区间：要么降置信水平，要么增大样本量——后者成本更高但更可靠。
- 误差幅度 MOE：MOE = z*σ/√n，民调"±3%"就是 95% 水平下的 MOE。
原理与公式
总体均值置信区间
点估计：样本均值 x̄ 是总体均值 μ 的最佳估计
标准误：SE = σ / √n（σ 未知时用样本标准差 s 代替）
置信区间：x̄ ± z* × SE
常用 z*：90% → 1.645；95% → 1.96；99% → 2.576
样本量越大，区间越窄（与 √n 成反比）
示例：抽检 100 件产品，x̄=500g、σ=15g，95% 置信区间 = 500 ± 1.96×(15/10) = 500 ± 2.94 = [497.06, 502.94] 克。
常见问题
样本量小怎么办？
n<30 且 σ 未知时应使用 t 分布（自由度 n−1）而非 z 值，区间会更宽。本工具按 z 近似，大样本时两者几乎一致。
95% 和 99% 选哪个？
常规研究用 95%；医药、航空等高风险领域用 99% 甚至更高。置信水平越高区间越宽、结论越保守。
比例数据（如支持率）能用吗？
比例区间公式是 p̂±z√(p̂(1−p̂)/n)，与均值区间不同。把"标准差"栏填 √(p̂(1−p̂)) 可近似。
为什么区间宽度与 √n 而不是 n 成反比？
均值的标准误 SE=σ/√n 来自独立随机变量方差的可加性：n 个变量之和的方差是 nσ²，均值的方差就是 σ²/n。想让精度翻倍，样本量要变成 4 倍。
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来源与更新
置信区间公式遵循概率统计教材标准（盛骤《概率论与数理统计》）；z 值取标准正态分位数。
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引用本页：一键算. 置信区间计算器[EB/OL]. https://www.yijiansuan.com/c/math/confidence-interval
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