数学统计 · Unit Circle · 更新于 2026-10-25
单位圆（Unit Circle）是什么：定义、公式与实例
定义
单位圆（半径 1、圆心在原点）把三角函数几何化：角 θ 的终边与圆交点为 (cosθ, sinθ)，切线对应 tanθ=sinθ/cosθ。弧度制由此而来：1 弧度=弧长等于半径的圆心角，180°=π 弧度。关键记忆点：30°/45°/60° 的 sin/cos 值（√2/2、√3/2 系列）、象限符号口诀（ASTC：一全正、二正弦、三正切、四余弦）。物理中的圆周运动、交流电相位、傅里叶分解都以单位圆为图像母版。
公式
x = cosθ, y = sinθ；x² + y² = 1；180° = π rad
数值实例
θ=60°：交点 (1/2, √3/2)——cos60°=0.5、sin60°≈0.866；钟表分针转 90° 即 π/2 弧度，扫过弧长=r×π/2。
常见误区
「sin²θ+cos²θ=1 是巧合」——它就是勾股定理在单位圆上的直接投影；「角度与弧度可以混算」——sin(90) 在弧度制下是 sin(90 rad)≈0.894 而非 1——计算器 DEG/RAD 模式搞错是最常见的考试失分点。
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