核心答案：球体表面积 S = 4πr²，体积 V = (4/3)πr³。半径 3cm 的球：表面积 4×3.14×9 ≈ 113.1cm²，体积 (4/3)×3.14×27 ≈ 113.1cm³。体积用半径立方、表面积用平方——考试最易混淆点。
表面积与体积公式
| 量 | 公式 | 关键记忆 |
|---|---|---|
| 表面积 | S = 4πr² | 4 个大圆面积（πr² × 4） |
| 体积 | V = (4/3)πr³ | 系数 4/3，半径立方 |
| 直径表示 | S = πd²；V = πd³/6 | 给直径时不用换算 |
推导直觉：阿基米德发现球体积 = 外切圆柱体积 × 2/3 = (πr² × 2r) × 2/3 = (4/3)πr³。他引以为豪，墓碑上刻的就是「圆柱容球」图。
实例演算
篮球（半径约 12cm）：
- 表面积 = 4 × 3.14 × 12² = 4 × 3.14 × 144 ≈ 1809 cm²
- 体积 = (4/3) × 3.14 × 12³ = 4.187 × 1728 ≈ 7235 cm³（约 7.2 升）
地球（平均半径 6371km）：
- 表面积 = 4 × 3.1416 × 6371² ≈ 5.1 亿 k㎡（陆地占 29% 约 1.49 亿）
- 体积 ≈ 1.083 × 10¹² km³
反算：已知气球体积 4.19 升 = 4190cm³，求半径：r³ = 4190 × 3 ÷ (4×3.14) ≈ 1000，r = 10cm。
半球公式
切开的半个球（如碗、穹顶）：
| 量 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 半球体积 | (2/3)πr³ | 整球一半 |
| 半球表面积 | 3πr² | 半球面 2πr² + 底面圆 πr² |
| 仅球面部分 | 2πr² | 不含底面 |
实用速查表
| 半径 r | 表面积 4πr² | 体积 (4/3)πr³ |
|---|---|---|
| 1 | 12.57 | 4.19 |
| 2 | 50.27 | 33.51 |
| 3 | 113.10 | 113.10 |
| 5 | 314.16 | 523.60 |
| 10 | 1256.64 | 4188.79 |
注意 r = 3 时表面积与体积数值相同（量纲不同）——经典易错题。
常见误区
- 体积记成 (4/3)πr²：体积必须是立方关系，r³。记法：「表平方、体立方」
- 半球表面积忘加底面：题目说「半球形物体表面」通常含底面圆，用 3πr²；只说「半球面」才是 2πr²
- 直径当半径代入：给直径先 ÷2。直径 10 的球体积不是 (4/3)π×1000，而是 (4/3)π×125 ≈ 523.6