核心答案：经过 n 个半衰期，剩余量 = 初始量 × (1/2)ⁿ。公式 N = N₀ × (1/2)^(t/T)：N₀ 初始量、t 经过时间、T 半衰期。7 个半衰期后剩不到 1%，10 个后不足千分之一，可认为基本消除。
半衰期公式
N = N₀ × (1/2)^(t/T)
已知任意三个量可求第四个：
- 求剩余量：直接代入
- 求时间：t = T × log₂(N₀/N)
- 求半衰期：T = t ÷ log₂(N₀/N)
衰减对照表（0–10 个半衰期）
| 经过半衰期数 | 剩余比例 | 直观理解 |
|---|---|---|
| 1 | 50% | 减半 |
| 2 | 25% | 四分之一 |
| 3 | 12.5% | 八分之一 |
| 4 | 6.25% | 十六分之一 |
| 5 | 3.125% | 约 3% |
| 6 | 1.56% | |
| 7 | 0.78% | <1% |
| 8 | 0.39% | |
| 9 | 0.20% | |
| 10 | 0.098% | <0.1%，视为消除 |
关键认知：衰减是指数不是线性——每个半衰期都砍掉「当前剩余」的一半，永远不会精确归零，只是趋近于零。
实例一：药物代谢
例：某药半衰期 6 小时，一次口服 400 mg，血液浓度维持有效阈值为 50 mg。
- 6h 后 200 mg → 12h 后 100 mg → 18h 后 50 mg → 24h 后 25 mg
- 18 小时后跌破有效浓度，所以医嘱每日 2 次（每 12h）或每日 3 次
- 从 400 mg 到「基本排出」（<1%，即 4 mg）需约 6.6 个半衰期 ≈ 40 小时
同理可解释「为什么手术前某些药要停药 5–7 个半衰期」。
实例二：碳-14 测年
碳-14 半衰期 5,730 年。生物存活时碳-14 含量与环境平衡，死亡后只衰减不补充。
例：出土骨骼碳-14 含量为现代标准的 12.5%：
12.5% = (1/2)³ → 经过 3 个半衰期 → 年代 ≈ 3 × 5,730 = 17,190 年前
测年上限约 5 万年（剩 <0.2% 后误差过大），更古老的样本改用钾-氩法（半衰期 12.5 亿年）。
常见半衰期速查
| 物质/场景 | 半衰期 |
|---|---|
| 咖啡因（人体） | 约 5 小时 |
| 布洛芬（人体） | 约 2 小时 |
| 碘-131（核医学） | 8 天 |
| 钴-60（放疗） | 5.27 年 |
| 碳-14（测年） | 5,730 年 |
| 铀-238 | 44.7 亿年 |
| 钋-214 | 164 微秒 |
半衰期与平均寿命
- 半衰期：数量减半所需时间
- 平均寿命：粒子平均存活时间 = 半衰期 × ln2 的倒数 ≈ 半衰期 × 1.443
例：半衰期 8 天的碘-131，平均寿命约 11.5 天。医学剂量换算常用这个关系。
常见误区
- 「两个半衰期就完全消失」：错。每个半衰期只减当前量的一半，理论上永远有剩余，只是趋近于零。
- 「半衰期是总量除以二的时间」：指数衰减不是「每小时固定减 X」，而是「每小时减当前值的固定百分比」。
- 「放射性物质放得越久越安全，没有尽头」：工程上以 10 个半衰期（剩 0.1%）作为处置参考，但长寿命核素（钚-239，2.4 万年）意味着地质尺度的封存需求。
- 「咖啡因下午喝的晚上就代谢完了」：半衰期 5 小时，下午 3 点一杯（200 mg）到晚上 10 点体内仍剩约 75–100 mg，敏感者照样失眠。
用[半衰期计算器](/c/science/half-life)输入初始量、半衰期与时间，剩余量与曲线一步出，[指数计算器](/c/math/exponent)辅助 (1/2)ⁿ 手算。