核心答案：log_a(b) 问的是"a 的几次方等于 b"。log₂8=3（2³=8），lg100=2（10²=100），ln(e²)=2。三大法则：乘法变加法、除法变减法、幂次提出来。
对数的定义
若 aˣ=b，则 x=log_a(b)（a>0 且 a≠1，b>0）
| 式子 | 读法 | 值 | 因为 |
|---|---|---|---|
| log₂8 | 以 2 为底 8 的对数 | 3 | 2³=8 |
| log₃81 | 以 3 为底 81 的对数 | 4 | 3⁴=81 |
| lg1000 | 常用对数（底 10） | 3 | 10³=1000 |
| ln20 | 自然对数（底 e） | ≈3.0 | e³≈20.09 |
| log₅1 | 任意底 | 0 | 5⁰=1 |
三大运算法则
| 法则 | 公式 | 例子 |
|---|---|---|
| 积 | log(ab)=log a+log b | lg200=lg2+lg100≈0.301+2=2.301 |
| 商 | log(a/b)=log a−log b | lg5=lg10−lg2=1−0.301=0.699 |
| 幂 | log(aⁿ)=n·log a | lg8=3lg2≈0.903 |
换底公式：log_a(b)=lg b ÷ lg a = ln b ÷ ln a。计算器只有 lg 和 ln 键，log₂100=lg100/lg2=2/0.301≈6.64。
实际应用
| 领域 | 对数标尺 | 定义 |
|---|---|---|
| 化学 | pH 值 | −lg[H⁺]，7 中性 |
| 声学 | 分贝 dB | 10lg(P/P₀)，每 +10dB 功率 ×10 |
| 地震 | 里氏震级 | lg 振幅，每 +1 级能量 ×31.6 |
| 天文 | 星等 | −2.5lg 亮度，每 +1 等暗 2.512 倍 |
| 金融 | 对数收益率 | ln(今价/昨价) |
常见误区
- log(a+b)=log a+log b：错误！log(100+100)=lg200≈2.3 ≠ 2+2=4。
- 负数和零求对数：真数必须 >0，lg(−5)、lg0 无定义（趋向 −∞）。
- 底数混淆：lg 底 10、ln 底 e≈2.718、log 在计算机领域常默认底 2——看上下文。
- 换底公式方向记反：log₂8=lg8/lg2=0.903/0.301=3，分母是"底的对数"。
用[对数计算器](/c/math/logarithm)求解任意底数的对数，[指数计算器](/c/math/exponent)做逆运算验证。