核心答案：阶乘 n! = n×(n−1)×(n−2)×…×2×1。5! = 5×4×3×2×1 = 120。规定 0! = 1。阶乘增长速度超过指数函数：10! = 362.88 万，13! 就超过 32 位整数上限。
阶乘的定义
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
递推式：n! = n × (n−1)!——编程实现的核心：
- 递归：f(n) = n × f(n−1)，f(0) = 1
- 循环：result = 1; for i in 1..n: result *= i
实例：6! = 6×5! = 6×120 = 720。
常用阶乘表
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 7 | 5040 |
| 1 | 1 | 8 | 40320 |
| 2 | 2 | 9 | 362880 |
| 3 | 6 | 10 | 3628800 |
| 4 | 24 | 15 | 1.31 万亿 |
| 5 | 120 | 20 | 2.43×10¹⁸ |
| 6 | 720 | 25 | 1.55×10²⁵ |
工程警示：13! = 62 亿 > 2³²（int 溢出）；21! > 2⁶⁴（long 溢出）。再大需用大数库或斯特林近似。
为什么 0! = 1
三个角度理解：
- 递推反推：1! = 1×0!，所以 0! = 1!÷1 = 1
- 组合意义：从 0 个元素选 0 个的选法 C(0,0) = 0!÷(0!×0!) = 1，必须 0! = 1 才自洽
- 排列意义：空集合的排列方式只有一种——「什么都不排」
增长速度有多快
| 函数 | n=10 | n=20 |
|---|---|---|
| n² | 100 | 400 |
| 2ⁿ | 1024 | 104 万 |
| n! | 362 万 | 2.4×10¹⁸ |
阶乘完胜。斯特林近似（大 n 估算）：n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ
- 100! ≈ 9.33×10¹⁵⁷，宇宙原子总数约 10⁸⁰——52 张扑克牌的排列数 52! ≈ 8×10⁶⁷，洗牌一次基本就是人类史上从未出现过的牌序。
排列组合应用
- 排列（有序）：A(n,m) = n!÷(n−m)!
- 5 人选 3 人排队：A(5,3) = 5!÷2! = 60 种
- 组合（无序）：C(n,m) = n!÷[m!×(n−m)!]
- 5 人选 3 人组队：C(5,3) = 120÷(6×2) = 10 种
- 全排列：n 个不同元素排队 = n! 种（5 人合影站位 120 种）
常见误区
- 「0! = 0」：错，0! = 1。与「任何数乘 0 得 0」直觉相反，但组合自洽性要求如此
- 负数阶乘：负整数无阶乘定义（伽马函数可扩展到非整数，Γ(n+1) = n!）
- (2n)! = 2×n!：错。(2n)! = 2n×(2n−1)×…×1，远大于 2×n!；6! = 720 ≠ 2×3! = 12
- 暴力算大阶乘：n>20 就该用斯特林近似或对数化，直接乘必然溢出