核心答案：圆柱体积 V=πr²h（底面积×高），表面积 S=2πr²+2πrh（两个底+侧面）。r=3、h=5 的圆柱：V=45π≈141.4，S=48π≈150.8。
体积公式
V = πr²h——底面积（πr²）× 高（h）
| r | h | V（保留 π） | V（近似） |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | π | 3.14 |
| 2 | 3 | 12π | 37.70 |
| 3 | 5 | 45π | 141.37 |
| 5 | 10 | 250π | 785.40 |
表面积公式
S = 2πr² + 2πrh
- 两个圆底：2×πr²
- 侧面展开是矩形：长=底面周长 2πr，宽=h → 2πrh
| 类型 | 公式 | 场景 |
|---|---|---|
| 全封闭 | 2πr²+2πrh | 罐头盒 |
| 无盖 | πr²+2πrh | 水桶 |
| 仅侧面 | 2πrh | 通风管、标签纸 |
实例演算
例 1（容积）：保温杯内径 7cm、高 20cm，容积多少？
r=3.5，V=π×3.5²×20=245π≈770 mL
例 2（材料）：做无盖水桶 r=20cm、h=50cm，需多少铁皮？
S=π×20²+2π×20×50=400π+2000π=2400π≈7539.8 cm²≈0.75 m²
例 3（排水）：直径 10cm 的排水管，流速 2m/s，每秒流量？
r=0.05m，V=π×0.05²×2=0.005π≈0.0157 m³/s≈15.7 L/s
展开图的理解
把圆柱侧面沿母线剪开摊平：得到一个矩形——
- 矩形的长 = 底面圆周长 2πr
- 矩形的宽 = 圆柱高 h
这解释了侧面积为什么是 2πrh，也解释了罐头标签纸的尺寸怎么定。
常见误区
- 半径直径混用：给直径要先 ÷2，d=10 时 r=5，直接代 10 体积大 4 倍。
- 表面积忘算底：无盖容器只算一个底，通风管两个底都不算。
- 单位不统一：r 用 cm、h 用 m 直接乘——先统一单位再算。
- π 取 3 还是 3.14：工程用 3.14159，估算可用 3.14，考试看题目要求。
圆柱体积速查表
| 半径 r | 高 h | 体积 V=πr²h |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 15.7 |
| 2 | 5 | 62.8 |
| 3 | 4 | 113.1 |
| 5 | 10 | 785.4 |
| 10 | 20 | 6283.2 |
半径的平方效应：半径翻倍体积变 4 倍——粗管比长管更能装。
实例演算
例 1（水桶容量）：家用圆柱水桶内径 30 cm、高 40 cm：V=π×15²×40≈28274 cm³≈28.3 L。
例 2（反求高）：500 mL 矿泉水瓶底面半径 3.2 cm：h=V÷(πr²)=500÷(π×10.24)≈15.5 cm。
例 3（管材用量）：DN50 钢管（内径 5 cm）长 100 m，内容水量：V=π×2.5²×10000≈196350 cm³≈196 L——供暖系统补水估算用得上。
用[圆柱计算器](/c/geometry/cylinder)输入半径和高，秒出体积、表面积和侧面积。