数学统计 · Integral · 更新于 2026-10-25
积分（Integral）是什么：定义、公式与实例
定义
定积分 ∫[a,b] f(x)dx = lim(分割无限细) Σf(xi)·Δx，几何意义是曲线与 x 轴之间的（带符号）面积。牛顿-莱布尼茨公式把它与原函数连接：∫[a,b] f(x)dx = F(b)−F(a)，其中 F'=f——「求面积」变成「找原函数算差值」。速度对时间积分是位移（v-t 图下面积），功率对时间积分是电能，边际收益积分是总收益：一切「累积效应」都是积分。
公式
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)，其中 F'(x) = f(x)
数值实例
v(t)=3t²（m/s）从 0 到 2 秒的位移 = ∫0..2 3t²dt = t³|0..2 = 8 m；功率 2kW 恒定运行 3 小时耗电 ∫ = 6 kWh。
常见误区
以为「积分就是求乘积」——∫x dx 中的 dx 不是「乘以 dx」而是分割变量，∫0..2 x dx=2（不是 2×2=4）；另一个坑：曲线在 x 轴下方时积分为负，「物理面积」要取绝对值或分段。
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