数学统计 · Derivative · 更新于 2026-10-25
导数（Derivative）是什么：定义、公式与实例
定义
导数 f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)−f(x)]/Δx，几何上是切线斜率，物理上是瞬时速度，经济上是边际（边际成本/边际收益）。可导必连续，连续不一定可导（如 |x| 在 0 处有折角）。求导法则：和差可拆、乘除有公式、复合函数用链式法则 (f(g(x)))'=f'(g)·g'(x)。优化问题（利润最大、成本最低）的通用解法是令导数为零找驻点。
公式
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)−f(x)] / Δx
数值实例
利润 π(q)=100q−q²−200，令 π'(q)=100−2q=0→q=50 时利润最大——「边际收益=边际成本」就是导数为零的经济学说法。
常见误区
把 f'(x0) 当成 f(x0+1)−f(x0)——那是平均变化率（割线斜率），导数是 Δx→0 的极限；也不要以为「连续函数处处可导」——绝对值函数、阶跃函数处处连续但折点/跳点不可导。
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