核心答案：等差数列通项 aₙ=a₁+(n−1)d，求和 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2；等比数列通项 aₙ=a₁·qⁿ⁻¹，求和 Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1)。1+2+…+100=5050 就是等差求和的经典应用。
等差数列公式
| 项目 | 公式 | 例子（2,5,8,11…） |
|---|---|---|
| 通项 | aₙ=a₁+(n−1)d | a₁₀=2+9×3=29 |
| 求和 | Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 | S₁₀=10×(2+29)/2=155 |
| 中项 | 等差中项=(a+b)/2 | 2 和 8 的中项是 5 |
高斯求和：1+2+…+100=(1+100)×100/2=5050。传说高斯小学时秒答此题——首尾配对，50 对 ×101。
等比数列公式
| 项目 | 公式 | 例子（3,6,12,24…） |
|---|---|---|
| 通项 | aₙ=a₁·qⁿ⁻¹ | a₅=3×2⁴=48 |
| 求和（q≠1） | Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1) | S₅=3×(32−1)/1=93 |
| 中项 | 等比中项=√(ab) | 3 和 27 的中项是 9 |
无穷等比级数
当 |q|<1 时，无穷等比级数收敛：S=a₁/(1−q)。
| 级数 | q | 和 |
|---|---|---|
| 1+1/2+1/4+1/8+… | 1/2 | 2 |
| 1+1/3+1/9+… | 1/3 | 1.5 |
| 0.999… | 1/10 | 0.9/0.9=1 |
这就严格证明了 0.999…=1。
实例演算
例 1（等差）：某健身房会员费首月 100 元，每月涨 5 元，一年总费用？a₁₂=100+11×5=155，S₁₂=12×(100+155)/2=1530 元。
例 2（等比）：细胞每 20 分钟分裂一次（×2），3 小时后 1 个变多少？3h=9 个周期，a=1×2⁹=512 个。
例 3（棋盘麦粒）：第 1 格 1 粒、每格翻倍，64 格共需 2⁶⁴−1≈1.8×10¹⁹ 粒——超过全球千年小麦产量，这就是指数增长的威力。
常见误区
- 求和公式项数数错：从 a₃ 加到 a₁₀ 共 8 项（10−3+1），不是 7 项。
- 等比求和忘记 q≠1 前提：q=1 时 Sₙ=na₁，直接代入分母为 0。
- 通项下标错位：aₙ=a₁qⁿ⁻¹ 的指数是 n−1 不是 n，第 1 项对应 q⁰=1。
- 复利混淆等差等比：单利是等差（每年加固定利息），复利是等比（每年乘固定比率）。
用[数列计算器](/c/math/sequence)输入前 3 项自动识别类型并给出通项与求和。