核心答案：椭圆面积 S=πab（a、b 为半长轴、半短轴），没有初等精确的周长公式——常用拉马努金近似 C≈π[3(a+b)−√((3a+b)(a+3b))]，误差极小。a=5、b=3：S=15π≈47.1，C≈25.5。
面积公式
S = πab——把圆的半径换成两条半轴即可（圆是 a=b 的特例：S=πa² ✓）
| a | b | 面积 | 场景类比 |
|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 15π≈47.12 | 餐盘 |
| 10 | 6 | 60π≈188.5 | 椭圆桌面 |
| 2 | 1 | 2π≈6.28 | 镜子 |
周长近似公式
椭圆周长没有有限项初等公式（需椭圆积分），工程用近似：
| 公式 | 表达式 | 精度 |
|---|---|---|
| 简单近似 | C≈π(a+b) | 扁椭圆误差大 |
| 拉马努金 I | C≈π[3(a+b)−√((3a+b)(a+3b))] | 极高（误差<0.01%） |
| 拉马努金 II | 含 h=((a−b)/(a+b))² 项 | 最高 |
例：a=5、b=3，拉马努金 I：3×8−√(18×14)=24−√252=24−15.87=8.13，C≈8.13π≈25.53。
实例演算
例 1（花坛）：椭圆花坛长轴 10 m、短轴 6 m，面积和围栏长度？
a=5、b=3 → S=15π≈47.1 m²；C≈25.5 m
例 2（跑道）：标准操场两直道间距 73 m（宽）、弯道是半圆——整体近似椭圆估算草地面积。
例 3（行星轨道）：地球轨道 a≈1.496 亿 km，离心率 e=0.0167 → b=a√(1−e²)≈1.4958 亿 km，几乎接近正圆。
椭圆与圆的关系
- 圆是椭圆的特殊情况（a=b，离心率 e=0）
- 离心率 e=c/a（c 为半焦距，c²=a²−b²），0
- e 越接近 1 越扁：彗星轨道 e≈0.97；越接近 0 越圆：地球轨道 e≈0.017
- 斜切圆柱/圆锥得到的截面是椭圆
常见误区
- 用长轴直接乘：公式用半轴！给长轴 10 要先 ÷2 得 a=5。
- 周长用 π(a+b)：扁椭圆误差可达 20%+，正式计算用拉马努金公式。
- 焦点位置搞错：焦点在长轴上，c²=a²−b²（不是 a²+b²——那是双曲线）。
- π 取 3：工程计算至少取 3.1416。
用[椭圆计算器](/c/geometry/ellipse)输入半轴长，秒出面积与高精度周长。