数学统计 · Prime Number · 更新于 2026-10-25
质数是什么：定义、公式与实例
定义
质数（素数）是大于 1 且只能被 1 和自身整除的整数：2、3、5、7、11……2 是唯一的偶质数。算术基本定理保证任何大于 1 的整数都能唯一分解为质数之积——质数是乘法世界的「原子」。判定一个数 n 是否质数只需用 ≤√n 的质数去试除（如判 97 用到 2/3/5/7）。质数的分布由素数定理描述（π(n)≈n/ln n，∞ 处密度趋于零但永不枯竭——欧几里得证明质数无穷多）。RSA 加密的安全性正建立在大数质因数分解的计算难度上：300 位数字相乘瞬间完成，反向分解却需数万年。
公式
判质数：试除 ≤√n 的质数即可；π(n) ≈ n/ln n（素数定理）
数值实例
判断 91：√91≈9.5，试除 2/3/5/7——91=7×13，是合数。判断 97：试除后无因子，97 是质数。RSA-2048 的两个约 617 位十进制质数相乘生成模数，全世界算力联手分解也需远超宇宙年龄的时间。
常见误区
「1 是质数」——不是，1 无质因数分解意义，排除它是算术基本定理成立的前提；「质数会越排越稀直到消失」——欧几里得 2000 年前证明质数无穷多。
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