核心答案：a mod m = a 除以 m 的余数。17 mod 5 = 2（17=3×5+2）。三大性质：和的余数=余数的和、积的余数=余数的积、幂的余数可循环——这是钟表、密码、哈希表的数学基础。
取模的定义
a mod m = r，其中 a = q×m + r，0 ≤ r < m
| 算式 | 商 | 余数 |
|---|---|---|
| 17 mod 5 | 3 | 2 |
| 100 mod 7 | 14 | 2 |
| 9 mod 3 | 3 | 0（整除） |
| 5 mod 8 | 0 | 5（不够除余自身） |
负数取模
数学定义：结果与除数同号（非负余数）——−7 mod 3 = 2（因为 −7=−3×3+2）
注意：编程语言不统一！
- Python：−7 % 3 = 2（数学约定）
- C/Java/JS：−7 % 3 = −1（截断除法）
- 统一写法：(a % m + m) % m 保证非负
同余与运算性质
记号 a≡b (mod m)：a、b 除以 m 余数相同。
| 性质 | 公式 | 例 |
|---|---|---|
| 加法 | (a+b) mod m = ((a mod m)+(b mod m)) mod m | (17+23) mod 5 = (2+3) mod 5 = 0 |
| 乘法 | (a×b) mod m = ((a mod m)(b mod m)) mod m | 17×23 mod 5 = 2×3 mod 5 = 1 |
| 幂 | 底数先取模再幂 | 17¹⁰⁰ mod 5 = 2¹⁰⁰ mod 5 |
快速心算技巧
末位判定系：
- mod 2：看末位奇偶
- mod 5：看末位（0/5 余 0，1/6 余 1…）
- mod 4：看末两位（1236 → 36 mod 4 = 0）
- mod 8：看末三位
mod 3/9：各位数字和。12345 → 1+2+3+4+5=15 → 15 mod 9 = 6。
mod 11：奇偶位交错和。2728 → (8+7)−(2+2)=11 → 整除。
实际应用
| 场景 | 用法 |
|---|---|
| 星期推算 | 天数差 mod 7 |
| 时钟 | 小时 mod 12 |
| 哈希表 | key mod 桶数 |
| 循环数组/轮询 | i mod n |
| 校验码 | 身份证末位 mod 11 |
| RSA 加密 | 大数模幂运算 |
常见误区
- 余数可以是负数：数学约定余数非负；编程里注意语言差异。
- mod 0：除以 0 无意义，mod 0 是错误。
- (a/b) mod m = (a mod m)/(b mod m)：除法不能直接分配！需要模逆元。
- 大数硬算：算 7^2024 mod 10 要找循环节（7,9,3,1 周期 4），不能直接算幂。
用[取模计算器](/c/math/modular)计算任意整数取模与模幂运算。