核心答案：GCD（最大公约数）用辗转相除法：大数÷小数取余，余数当新除数重复，直到余 0——GCD(48,18)：48=2×18+12，18=1×12+6，12=2×6+0 → GCD=6。LCM=两数乘积÷GCD=48×18÷6=144。
什么是 GCD 与 LCM
| 概念 | 定义 | 例子（12 和 18） |
|---|---|---|
| GCD 最大公约数 | 能同时整除两数的最大数 | 6 |
| LCM 最小公倍数 | 能同时被两数整除的最小数 | 36 |
核心关系：GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b
辗转相除法（推荐）
步骤：a÷b 取余 r → 用 b 和 r 重复 → 余 0 时除数即 GCD。
例：GCD(252, 105)
- 252 = 2×105 + 42
- 105 = 2×42 + 21
- 42 = 2×21 + 0
- → GCD = 21
为什么有效：a 和 b 的公约数 = b 和 a%b 的公约数（整除性质），问题规模每步至少减半，效率极高。
分解质因数法
适合小数或需要分解过程的场景：
- 12 = 2²×3，18 = 2×3²
- GCD：取各素因子最低次幂相乘 = 2¹×3¹ = 6
- LCM：取各素因子最高次幂相乘 = 2²×3² = 36
短除法（课堂常用）
两数并排写，同除以公共素因子，直到互质：
```
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3 ← 互质，停
```
GCD = 2×3 = 6；LCM = 2×3×2×3 = 36
实际应用
| 场景 | 用哪个 | 例子 |
|---|---|---|
| 分数约分 | GCD | 12/18 → ÷6 → 2/3 |
| 分数通分 | LCM | 1/12+1/18 → 分母 36 |
| 铺地砖 | GCD | 48×36 房间铺满正方形砖，最大边长 12 |
| 周期重逢 | LCM | 4 天一圈和 6 天一圈，12 天后同时回起点 |
| 齿轮啮合 | LCM | 12 齿与 18 齿齿轮，36 齿后回到原位 |
常见误区
- GCD 与 LCM 搞反：约分用 GCD（往小约），通分用 LCM（往大扩）。
- 多个数直接套两数公式：GCD(a,b,c)=GCD(GCD(a,b),c)，LCM 同理逐对化归，但 LCM 不能用"乘积÷GCD"推广到三个数。
- 互质就以为 GCD 不存在：互质的两数 GCD=1，LCM=两数乘积。
- 辗转相除把余数搞丢：每一步是"除数→被除数、余数→除数"，别拿商继续。
用[GCD/LCM 计算器](/c/math/gcd-lcm)一次算多个数的最大公约数与最小公倍数。